热点2-2 函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性10大题型-2023年高考数学【热点•重点•难点】专练（新高考专用）

热点2-2 函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性10大题型 函数的性质是函数学习中非常重要的内容，对于选择题和填空题部分，重点考查基本初等函数的单调性，利用性质判断函数单调性及求最值、解不等式、求参数范围等，难度较小，属于基础题；对于解答题部分，一般与导数结合，考查难度较大。 一、单调性定义的等价形式: 1、函数在区间上是增函数: 任取，且，都有； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，. 2、函数在区间上是减函数: 任取，且，都有； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，. 二、判断函数奇偶性的常用方法 1、定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等. 2、验证法：在判断与的关系时，只需验证=0及是否成立. 3、图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称. 4、性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数. 5、分段函数奇偶性的判断 判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系.首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较. 三、常见奇、偶函数的类型 1、（）为偶函数； 2、（）为奇函数； 3、（）为奇函数； 4、（）为奇函数； 5、（）为奇函数； 6、为偶函数； 7、为奇函数； 四、函数的周期性与对称性常用结论 1、函数的周期性的常用结论（是不为0的常数） （1）若，则； （2）若，则； （3）若，则； （4）若，则； （5）若，则； （6）若，则（）； 2、函数对称性的常用结论 （1）若，则函数图象关于对称； （2）若，则函数图象关于对称； （3）若，则函数图象关于对称； （4）若，则函数图象关于对称； 3、函数的奇偶性与函数的对称性的关系 （1）若函数满足，则其函数图象关于直线对称， 当时可以得出，函数为偶函数，即偶函数为特殊的线对称函数； （2）若函数满足，则其函数图象关于点对称， 当,时可以得出，函数为奇函数，即奇函数为特殊的点对称函数； 4、函数对称性与周期性的关系 （1）若函数关于直线与直线对称，那么函数的周期是； （2）若函数关于点对称，又关于点对称，那么函数的周期是； （3）若函数关于直线，又关于点对称，那么函数的周期是. 5、函数的奇偶性、周期性、对称性的关系 （1）①函数是偶函数；②函数图象关于直线对称；③函数的周期为. （2）①函数是奇函数；②函数图象关于点对称；③函数的周期为. （3）①函数是奇函数；②函数图象关于直线对称；③函数的周期为. （4）①函数是偶函数；②函数图象关于点对称；③函数的周期为. 其中，上面每组三个结论中的任意两个能够推出第三个。 【题型1 函数的单调性及应用】 【例1】（2023·全国·高三专题练习）下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2022春·北京·高三北京市广渠门中学校考阶段练习）下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2022春·上海崇明·高三上海市崇明中学校考阶段练习）设函数的定义域为．则“在上严格递增”是“在上严格递增”的（ ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【变式1-3】（2022春·河北廊坊·高三校考阶段练习）函数的单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 【变式1-4】（2022春·江苏南通·高三统考开学考试）设函数，，则函数的减区间为（ ） A． B． C． D． 【题型2 利用函数的单调性求最值】 【例2】（2022·河北·校联考模拟预测）已知，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2022春·安徽安庆·高三安庆一中统考阶段练习）已知函数,则在上的值域为（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2022春·海南省直辖县级单位·高三嘉积中学校考阶段练习）已知函数对任意的，总有，若时，，且，则当时，的最大值为（ ） A．0