专题6.3 平面向量的运算（重难点题型精讲）-2022-2023学年高一数学举一反三系列（人教A版2019必修第二册）

专题6.3 平面向量的运算（重难点题型精讲） 1．向量的加法运算 (1)向量加法的定义及两个重要法则 (2)多个向量相加 为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如图所示. 2．向量加法的运算律 (1)交换律：； (2)结合律：. 3．向量的减法运算 (1)相反向量 我们规定，与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作.零向量的相反向量仍是 零向量. (2)向量减法的定义： 向量加上的相反向量，叫做与的差，即-=+(-).求两个向量差的运算叫做向量的减法. (3)向量减法的三角形法则 如图，已知向量,，在平面内任取一点O，作=，=，则=-=-.即-可以 表示为从向量的终点指向向量的终点的向量，这是向量减法的几何意义. 4．向量的数乘运算 (1)向量的数乘的定义 一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与 方向规定如下： ①； ②当>0时，的方向与的方向相同；当<0时，的方向与的方向相反. (2)向量的数乘的运算律 设,为实数，那么①()=()；②(+)=+；③ (+)=+. 特别地，我们有(-)=-()=(-)，(-)=-. (3)向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量,，以及任意实数,,，恒有( )=. 5．向量共线定理 (1)向量共线定理 向量(≠0)与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使=. (2)向量共线定理的应用——求参 一般地，解决向量,共线求参问题，可用两个不共线向量(如,)表示向量,，设=(≠0)，化 成关于,的方程()=-()，由于,不共线，则解方程组即可. 【题型1 向量的加减法运算】 【方法点拨】 向量的加减法运算有如下方法： (1)利用相反向量统一成加法(相当于向量求和)； (2)运用减法公式-=(正用或逆用均可)； (3)运用辅助点法，利用向量的定义将所有向量转化为以其中一确定点为起点的向量，使问题转化为有共同 起点的向量问题. 【例1】（2023春·北京丰台·高一期末）化简后等于（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2022·全国·高三专题练习）化简得（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2022·广东·高三学业考试）在四边形ABCD中，给出下列四个结论，其中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2022春·广西南宁·高二开学考试）下列化简结果错误的是（    ） A． B． C． D． 【题型2 三角形（平行四边形）法则的应用】 【方法点拨】 根据向量加减法的几何意义，将对应向量表示出来即可. 【例2】（2022秋·四川·高三开学考试）如图，向量等于（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2022·高一课时练习）如图，向量等于（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2022秋·安徽芜湖·高一期中）如图，向量，，的起点与终点均在正方形网格的格点上，若，则（    ） A． B． C．2 D．4 【变式2-3】（2022秋·湖南衡阳·高一期末）如图，在正方形网格中，向量，满足，则（    ） A． B． C． D． 【题型3 向量的线性运算】 【方法点拨】 向量的数乘运算类似于实数运算，遵循括号内的运算优先的原则，将相同的向量看作“同类项”进行合并.要 注意向量的数乘所得结果仍是向量，同时要在理解其几何意义的基础上，熟练运用运算律. 【例3】（2022春·新疆喀什·高一阶段练习）（       ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2022·高一课时练习）已知，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2022·全国·高三专题练习）的化简结果为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2022·高一课时练习）等于（    ） A． B． C． D． 【题型4 用已知向量表示相关向量】 【方法点拨】 用已知向量来表示其他向量是解向量相关问题的基础，除了要利用向量的加、减、数乘运算外，还应充分 利用平面几何的一些定理、性质，如三角形的中位线定理，相似三角形对应边成比例等，把未知向量转化 为与已知向量有直接关系的向量进行求解. 【例4】（2022·高一课时练习）如图，中，，，点E是的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2022·高一课时练习）在四边形中，设，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2022·新疆·统考三模）如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O，且 ， ，则可以表示为（    ） A． B． C．