6.3 平面向量基本定理及坐标表示（分层练习）-2022-2023学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第二册）

第六章 平面向量及其应用 6.3 平面向量基本定理及坐标表示 精选练习 基础篇 1．已知点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用向量的坐标表示求解作答. 【详解】∵点，∴. 故选：B 2．已知向量，且，则___________. 【答案】 【分析】由向量平行的坐标表示可直接构造方程求得结果. 【详解】解：向量，且， ∴，解得. 3．已知向量，，若，则_____． 【答案】 【分析】将转化为计算即可. 【详解】由题意得，解得． 4．已知向量，满足，则（    ） A．0 B．2 C． D．5 【答案】D 【分析】利用数量积垂直的坐标表示，即可求解. 【详解】.故选：D 5．已知向量，则它们的夹角是______ ； 【答案】 【分析】根据向量的夹角公式求得正确答案. 【详解】，则为锐角，∴. 6．已知向量，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂直的数量积为0，结合二倍角的余弦公式求解即可. 【详解】由可得，即.故选：B 7．已知向量，且，则（    ） A．68 B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意利用两个向量的模相等，求得的值，再用两个向量的数量积的坐标公式即可求解. 【详解】已知向量，, ，即， 又， ，故， .故选：D. 8．已知是平面内两个不共线的向量，下列向量中能作为平面的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量基底的意义，逐项判断即可作答. 【详解】是平面内两个不共线的向量， 对于A，，即向量共线，A不是； 对于B，，即向量共线，B不是； 对于D，，即向量共线，D不是； 对于C，∵，即向量与不共线，则向量与能作为平面的一个基底，C是. 故选：C 9．已知向量，，，则等于（    ） A．3 B．4 C．15 D．21 【答案】D 【分析】先由平面向量的线性运算求得，再由平面向量模的坐标表示得到关于的方程，解之即可利用平面向量数量积的坐标表示求得. 【详解】∵，，∴， ∵，∴，解得，则， ∴.故选：D. 10．在矩形中，，，若点、分别是，的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以点A为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，写出向量的坐标，利用数量积的坐标运算即可求解. 【详解】解：以点A为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则、、、，∴，， ，故选：B. 提升篇 1．已知向量，若，则___________． 【答案】 【分析】根据平面向量的坐标运算以及向量平行的坐标表示可求出结果. 【详解】∵，∴，， ∵，∴，解得；故答案为：. 2．已知向量，且，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】根据向量平行得到，再利用均值不等式计算得到答案. 【详解】，，，故，即， 当，或，时，； 当且时，，，当，即，时等号成立； 综上所述：的最大值为. 故选：B 3．已知向量，则“与夹角为锐角”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】首先求与夹角为锐角时，的取值范围，再根据集合的包含关系，判断选项. 【详解】当，解得：， 且当时，，解得：， ∴“与夹角为锐角时，的取值范围是且， ∴“与夹角为锐角”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4．（多选）已知向量，，，函数的最小正周期是，则（    ） A． B．在上单调递减 C．的图象向左移个单位，图像关于轴对称 D．取最大值时，x的取值集合为 【答案】BD 【分析】化简，根据最小正周期是可得，从而得到，再根据正弦型函数的单调性、图像平移与对称性，结合对称轴方程逐个判断即可. 【详解】∵，，则 ， 由，可得，则 选项A：.判断错误； 选项B：由，可得， 由，得在上单调递减.判断正确； 选项C：的图象向左移个单位，可得，图像不关于轴对称.判断错误 选项D：由，可得 则取最大值时，x的取值集合为.判断正确. 故选：BD 5．已知平面向量=(2,1)，为单位向量，且，则向量在向量上的投影向量的坐标为______. 【答案】 【分析】由得，计算在方向上的投影，进而得在方向上的投影向量. 【详解】∵，∴，为单位向量，， 又∵，∴， 即，在方向上的投影为， ∴在方向上的投影向量为. 6．（多选）已知同一平面内的两个向量，，则（    ） A．与同向的单位向量是 B．{,}不能作为该平面的基底 C．和的夹角是 D．在上的投影向量等于 【答案】ACD 【分析】A选项，利用进行求解；B选项，求出与不平行，从而B错误； C选项，利用向量余弦夹角公式进行求解；D选项，利用求解. 【详解】，，则与同向