北京市石景山区2022-2023学年高三上学期期末数学试题

石景山区2022—2023学年第一学期高三期末试卷 数 学 本试卷共7页，满分为150分，考试时间为120分钟。请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡交回。 第一部分（选择题 共40分） 1、 选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）已知集合，，则等于 （A） （B） （C） （D） （2）在复平面内，复数对应的点位于 （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 （3）若，则 （A） （B） （C） （D） （4）已知直线与圆交于两点，则线段的垂直平分线方程为 （A） （B） （C） （D） （5）已知直线与平面，满足，，，，则下列判断一定正确的是 （A）， （B）， （C）， （D）， （6）已知函数，则下列命题正确的是 （A）的图象关于直线对称 （B）的图象关于点对称 （C）的最小正周期为，且在上为增函数 （D）的图象向右平移个单位得到一个偶函数的图象 （7） 已知数列是的无穷等比数列，则“为递增数列”是“且，”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （8）中国茶文化博大精深．茶水口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用85℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生最佳口感．已知室内的温度为25℃，设茶水温度从85℃开始，经过分钟后的温度为℃．与的函数关系式近似表示为，那么在25℃室温下，由此估计，刚泡好的茶水大约需要放置多少分钟才能达到最佳口感 （参考数据：，） （A） （B） （C） （D） （ 9 ）已知是抛物线的焦点，过点的直线与抛物线交于两点，为线段的中点，若，则的值为 （A） （B） （C） （D） （10）在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上．若，则的最大值为  （A） （B） （C） （D） 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 （11）函数的定义域为____________． （12）首项为的等比数列中，成等差数列，则公比_______． （13）已知双曲线的一个顶点为，且渐近线方程为，则实数__________，__________． （14）在四棱锥中，面，底面是正方形，，则此四棱锥的外接球的半径为_______________． （15）函数，给出下列四个结论 ① 的值域是； ② 任意且，都有； ③ 任意且，都有； ④ 规定，，其中，则． 其中，所有正确结论的序号是 ． 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （16）（本小题13分） 在中，从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知． （Ⅰ）求； （Ⅱ）若，的面积为，求的周长． 条件①：； 条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． （17）（本小题14分） 如图，在四棱锥中，平面，为等边三角形，， ，分别为棱的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值； （Ⅲ）在棱上是否存在点，使得平面？ 若存在，求的值；若不存在，说明理由． （18）（本小题13分） 某学校有初中部和高中部两个学部，其中初中部有1800名学生．为了解全校学生两个月以来的课外阅读时间，学校采用分层抽样方法，从中抽取了100名学生进行问卷调查，将样本中的“初中学生”和“高中学生”按学生的课外阅读时间单位：小时各分为5组：，得到初中生组的频率分布直方图（图1）和高中生组的频数分布表（表1）．表1 高中生组 分组区间 频数 2 10 14 12 2 图1 初中生组 （Ⅰ）求高中部的学生人数并估计全校学生中课外阅读时间在小时内的总人数； （Ⅱ）从课外阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，记为3人中初中生的人数，求的分布列和数学期望； （Ⅲ）若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该校高中部抽取10名学生进行调查，其中有名学生的阅读时间在的概率为，请直接写出为何值时取得最大值．（结论不要求证明） （19）（本小题15分） 已知函数，. （Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）求的单调区间； （Ⅲ）若和有相同的最小值，求的值． （20）（本小题15分） 已知椭圆的一个顶点为,焦距为． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上一动点，射线分别交椭圆于点，求证：为定值．   （21）（本小题15分） 已知项数为的有穷数列满足如下两个性质，则称数列具有性质： ①； ②对任意的,与至少有一个是数列中的项． （Ⅰ）分别判断数列和是否具有性质，并说明理由； （Ⅱ）若数列具有性质，求证