福建省南安市柳城中学2022-2023学年高三上学期12月月考数学试题

高三数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，i为虚数单位，则z的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知随机变量X服从正态分布，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知某圆锥的侧面展开图为半圆，该圆锥的体积为，则该圆锥的表面积为（ ） A. 27π B. C. D. 16π 5. 将函数图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点，与双曲线的渐近线交于点A，若，则双曲线的标准方程为（ ） A. B. C D. 7. 如图，在正三棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是定义域为R的偶函数为奇函数，当时，，若，则（ ） A. 2 B. 0 C. -3 D. -6 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知数列的前项和为，则（ ） A. 若，则是等差数列 B. 若，则是等比数列 C. 若是等差数列，则 D. 若是等比数列，且，，则 11. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A 若，则 B. 的图像关于点对称 C. 在上单调递增 D. 的图像向右平移个单位长度后所得图像关于y轴对称 12. 将边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折起，使点D不在平面ABC内，则在翻折过程中，下列结论正确的有（ ） A. 存在某个位置，使直线BD与平面ABC所成的角为45° B. 当二面角为时，三棱锥的体积为 C. 当平面ACD⊥平面ABC时，异面直线AB与CD的夹角为60° D. O为AC的中点，当二面角为时，三棱锥外接球的表面积为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知向量，，且，则______． 14. 展开式的常数项为______. 15. 已知函数，将的图象绕原点逆时针旋转角后得到曲线C，若曲线C仍是某个函数的图象，则θ的最大值为______． 16. 有一种投掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第1站、第2站、第3站、…、第10站，共10站，设棋子跳到第n站的概率为，若一枚棋子开始在第1站，棋手每次投掷骰子一次，棋子向前跳动一次．若骰子点数小于等于3，棋子向前跳一站；否则，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第9站（失败）或者第10站（获胜）时，游戏结束．则_________；该棋手获胜的概率为__________． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 在中，角A，B，C对边分别为a，b，c，，且． （1）求B； （2）若的周长为，求BC边上中线的长． 18. 已知数列的前项和为，若，且. （1）求的通项公式; （2）设，，数列的前项和为，求证. 19. 2018年9月10日，全国教育大会在北京召开，习近平总书记在会上提出“培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人”.某学校贯彻大会精神，为学生开设了一门模具加工课，经过一段时间的学习，拟举行一次模具加工大赛，学生小明､小红打算报名参加大赛. （1）赛前，小明进行了一段时间的强化训练，加工完成一个模具的平均速度y(秒)与训练天数x(天)有关，经统计得到如下表数据： x(天) 1 2 3 4 5 6 7 y(秒) 990 990 450 320 300 240 210 经研究发现，可用作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测小明经过50天训练后，加工完成一个模具的平均速度y约为多少秒？ （2）小明和小红拟先举行一次模拟赛，每局比赛各加工一个模具，先加工完成模具的人获胜，两人约定先胜4局者赢得比赛.若小明每局获胜的概率为，已知在前3局中小明胜2局，小红胜1局.若每局不存在平局，请你估计小明最终赢得比赛的概率． 参考数据：(其中) 1845 0.37 0.55 参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 20. 如图，圆台下底面圆的直径为， 是圆上异于的点，且，为上底面圆的一条直径，是边长为的等边三角形，. （1）证明：平面； （2）求平面和平面夹角的余弦值. 21. 已知抛物线在点处的切线斜率为． （1）