2019—2020学年上海各区一模压轴题分类汇编25题-动点背景下的相似三角形、面积问题

专题 动点函数下的相似三角形、面积问题 【历年真题】 1．（2021秋•普陀区期末）如图，在△ABC中，边BC上的高AD＝2，tanB＝2，直线l平 行于BC，分别交线段AB，AC，AD于点E、F、G，直线l与直线BC之间的距离为m． （1）当EF＝CD＝3时，求m的值； （2）将△AEF沿着EF翻折，点A落在两平行直线l与BC之间的点P处，延长EP交线段CD于点Q． ①当点P恰好为△ABC的重心时，求此时CQ的长； ②联结BP，在∠CBP＞∠BAD的条件下，如果△BPQ与△AEF相似，试用m的代数式表示线段CD的长． 【考点】三角形综合题．版权所有 【专题】几何综合题；推理能力． 【分析】（1）根据＝tanB＝2，可得：BD＝1，再由EF＝CD＝3，DG＝m，可得：BC＝4，AG＝2﹣m，利用EF∥BC，可得，建立方程求解即可； （2）①由翻折可得：BD＝CD＝1，AP＝2PD，即PD＝AD＝，AP＝AD＝，进而得出：AG＝，推出DP＝GP，再由EF∥BC，可得出EG＝，利用ASA证明△PQD≌△PEG，即可求得答案； ②分两种情况：Ⅰ．当△BPQ∽△FAE时，由△FAE∽△CAB，推出△BPQ∽△CAB，建立方程求解即可；Ⅱ．当△BPQ∽△AFE时，由△AFE∽△ACB，推出△BPQ∽△ACB，建立方程求解即可． 【解答】解：（1）如图1，在△ABC中，边BC上的高AD＝2，tanB＝2， ∴＝tanB＝2，∴BD＝1， ∵EF＝CD＝3，DG＝m，∴BC＝BD+CD＝4，AG＝AD﹣DG＝2﹣m， ∵EF∥BC， ∴，即，解得：m＝， ∴m的值为； （2）①如图2，∵将△AEF沿着EF翻折，点A落在△ABC的重心点P处， ∴BD＝CD＝1，AP＝2PD，即PD＝AD＝，AP＝AD＝， ∴AG＝GP＝AP＝，∴DP＝GP， ∵EF∥BC，∴∠PGE＝∠PDQ＝90°，△AEG∽△ABD， ∴，即，∴EG＝， 在△PQD和△PEG中， ， ∴△PQD≌△PEG（ASA）， ∴DQ＝EG＝， ∴CQ＝CD﹣DQ＝1﹣＝，∴此时CQ的长为； ②在Rt△ABD中，AB＝， ∵将△AEF沿着EF翻折，点A落在两平行直线l与BC之间的点P处， ∴∠PBQ＜∠ABD， ∵EF∥BC，∴∠AEF＝∠ABD，∴∠PBQ＜∠AEF， ∵∠CBP＞∠BAD，∴∠BAD＜∠PBQ＜∠AEF， ∵GP＝AG＝2﹣m，DG＝m， ∴DP＝DG﹣GP＝m﹣（2﹣m）＝2m﹣2， ∴m＞1，∴1＜m＜2， ∵∠AEF＝∠ABD， ∴＝tan∠AEF＝tan∠ABD＝2，∴， ∴EG＝， ∵EF∥BC，∴△PEG∽△PQD， ∴，即，∴DQ＝m﹣1， ∴BQ＝BD+DQ＝m， ∵∠AEF＝∠PEG＝∠BQP，∠PBQ＜∠AEF， ∴△BPQ与△AEF相似，则△BPQ∽△FAE或△BPQ∽△AFE， Ⅰ．当△BPQ∽△FAE时， ∵△FAE∽△CAB，∴△BPQ∽△CAB， ∴，即，∴BC＝， ∴CD＝BC﹣BD＝﹣1＝； Ⅱ．当△BPQ∽△AFE时， ∵△AFE∽△ACB，∴△BPQ∽△ACB， ∴，即， ∴BC＝， ∴CD＝BC﹣BD＝﹣1＝， 综上，线段CD的长为或． 【点评】本题考查了全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角函数，翻转变换的性质等，熟练掌握全等三角形判定和性质、相似三角形的判定和性质等相关知识，运用分类讨论思想和方程思想思考解决问题是解题关键． 2．（2021秋•虹口区期末）已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，tanB＝， 点D是边BC延长线上的点，在射线AB上取一点E，使得∠ADE＝∠ABC．过点A作AF ⊥DE于点F． （1）当点E在线段AB上时，求证：； （2）在（1）题的条件下，设CD＝x，DE＝y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； （3）记DE交射线AC于点G，当△AEF∽△AGF时，求CD的长． 【考点】相似形综合题．版权所有 【专题】等腰三角形与直角三角形；图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力． 【分析】（1）证明△ADE∽△ABD及△ADF∽△ABC，进而命题得证； （2）根据△ADE∽△ABD得出，进而得出y与x的关系式； （3）当G在线段AC上时，延长AF交BC于M，作MN⊥AB于N，可推出CM＝CD，根据AM平分∠BAC，推出MN＝CM，根据面积法求得CM，从而得出CD，G点在AC的延长线上不存在． 【解答】（1）证明：∵∠ADE＝∠ABC，∠DAE＝∠BAD，∴△ADE∽△ABD， ∴， ∵AF⊥DE，∴∠AFD＝∠ACB＝90°，∴△ADF∽△ABC，∴， ∴； （2）解：∵∠ACB＝90°，tanB＝，∴tanB＝＝， 设AC＝