知识必备06 三角形（公式、定理、结论图表）-【口袋书】2023年中考数学必背知识手册

知识必备06 三角形（公式、定理、结论图表） 考点一、三角形的边角关系 三角形任意两边之和大于第三边. 三角形任意两边的之差小于第三边. 三角形的内角和为180°． 典例1:（2022•毕节市）如果一个三角形的两边长分别为3，7，则第三边的长可以是（　　） A．3 B．4 C．7 D．10 【分析】根据三角形三边关系，两边之和第三边，两边之差小于第三边即可判断． 【解答】解：设第三边为x，则4＜x＜10， 所以符合条件的整数为7， 故选：C． 【点评】本题考查三角形三边关系定理，记住两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，属于基础题，中考常考题型． 典例2：（2022•北京）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明． 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°． 已知：如图，△ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°． 方法一 证明：如图，过点A作DE∥BC． 方法二 证明：如图，过点C作CD∥AB． 【分析】方法一：由平行线的性质得：∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，再由平角的定义可得∠BAD+∠BAC+∠CAE＝180°，从而可求解； 方法二：由平行线的性质得：∠A＝∠ACD，∠B+∠BCD＝180°，从而可求解． 【解答】证明：方法一：∵DE∥BC， ∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE， ∵∠BAD+∠BAC+∠CAE＝180°， ∴∠B+∠BAC+∠C＝180°； 方法二：∵CD∥AB， ∴∠A＝∠ACD，∠B+∠BCD＝180°， ∴∠B+∠ACB+∠A＝180°． 【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用． 考点二、等腰三角形 1.等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 2.性质： 　　(1)具有三角形的一切性质. 　　(2)两底角相等(等边对等角) 　　(3)顶角的平分线，底边中线，底边上的高互相重合(三线合一) 　　(4)等边三角形的各角都相等，且都等于60°. 3.判定： 　　(1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)； 　　(2)三个角都相等的三角形是等边三角形； 　　(3)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形. 　要点诠释： 　　(1)腰、底、顶角、底角是等腰三角形特有的概念； 　　(2)等边三角形是特殊的等腰三角形. 典例3：（2022•苏州）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为 　6　． 【分析】由等腰△ABC是“倍长三角形”，可知AB＝2BC或BC＝2AB，若AB＝2BC＝6，可得AB的长为6；若BC＝3＝2AB，因1.5+1.5＝3，故此时不能构成三角形，这种情况不存在；即可得答案． 【解答】解：∵等腰△ABC是“倍长三角形”， ∴AB＝2BC或BC＝2AB， 若AB＝2BC＝6，则△ABC三边分别是6，6，3，符合题意， ∴腰AB的长为6； 若BC＝3＝2AB，则AB＝1.5，△ABC三边分别是1.5，1.5，3， ∵1.5+1.5＝3， ∴此时不能构成三角形，这种情况不存在； 综上所述，腰AB的长是6， 故答案为：6． 【点评】本题考查三角形三边关系，涉及新定义，解题的关键是分类思想的应用及掌握三角形任意两边的和大于第三边． 典例4：（2022•温州）如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E． （1）求证：∠EBD＝∠EDB． （2）当AB＝AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由． 【分析】（1）利用角平分线的定义和平行线的性质可得结论； （2）利用平行线的性质可得∠ADE＝∠AED，则AD＝AE，从而有CD＝BE，由（1）得，∠EBD＝∠EDB，可知BE＝DE，等量代换即可． 【解答】（1）证明：∵BD是△ABC的角平分线， ∴∠CBD＝∠EBD， ∵DE∥BC， ∴∠CBD＝∠EDB， ∴∠EBD＝∠EDB． （2）解：CD＝ED，理由如下： ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠ABC， ∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠ABC， ∴∠ADE＝∠AED， ∴AD＝AE， ∴CD＝BE， 由（1）得，∠EBD＝∠EDB， ∴BE＝DE， ∴CD＝ED． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义等知识，熟练掌握平行与角平分线可推出等腰三角形是解题的关键． 典例5：（2022•鄂州）如图，在边长为6的等边△ABC中，D、E分别为边BC、AC上的点，AD与BE相交于点P，若BD＝CE＝2，则△ABP的周长为 　　． 【分析】根据SAS证△ABD≌△BCE，得出∠APB＝120°，在CB上取一点F使CF＝CE＝2，则B