基本功专练(3) 因式分解及其应用(周测小卷)-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

基本功专练（三） （时间：40分钟 1.(60分)因式分解： (1)-a2-ab; (2)4a2-9b; (3)x2+2√2x+2; (4)x-2x2十x3; (5)(x+1)(x+5)+4; (6)(a+2b+2)2-(a-2b+2)2; ·1 因式分解及其应用 满分：100分) (7)x2(m-2)+y2(2-m); 8)x-(6); (9)9(2x-1)2-6(2x-1)+1; (10)am+on+bman; (11)16x4-8.x2y2+y; 7 (12)(x2-x)2-(1-x)2。 2.(12分)先因式分解，再计算求值： (1)2(a-3)2-a(a-3),其中a=2; (2)3x3y-6x2y+3xy,其中x,y满足x =2,xy=3。 3.(20分)利用因式分解进行简便运算： (1)89×g-25×0.125: (2)2022-542+256×352; (3)1022+102×196+982; y (4)30202+3020-30212。 4.(8分)请通过计算说明：当为任意正整 数时，(n+7)2-(n-5)2能被24整除。 ·18·图，△A'B'C即为所求，B(2,-3)。12.解：(1)对称中心的坐标为(0,2.5)。(2)点C 的坐标为(-√3,3)，点C的坐标为(3,2)。13.解：(1)如图，△ABC即为所求。 (2)如图，△A2B2C2即为所求。 14.解：(1)如图①（答案不唯一）。(2)如图②（答案不唯一）。 图①图② 15.解：(1)，∠B=45°，∠C=30°，∴.∠AOB=45°，∠COD=60°。.∠BOC=180°- ∠AOB-∠COD=180°-45°-60°=75°。(2)△OAB以点O为旋转中心旋转得到 △OA'B',∴.∠AOB=∠A'OB′=45°。：∠COD=60°，OB'平分∠COD,∴.∠COB=30°。 ∴∠COA'=∠A'OB'-∠COB=15°。∴∠A'OB=∠COB-∠COA'=60°。∴.∠AOA'= ∠AOB十∠A'OB=105°。(3)105°或285【解析】分两种情况，如答图①和②。 答图① 答图② 基本功专练（三）因式分解及其应用 1.解：(1)原式=-(a2十ab)=-a(a十b)。(2)原式=(2a十3b)(2a-3b)。(3)原式= x2+2·x·√2+(W2)2=(x十√2)2。(4)原式=x(1-2x十x2)=x(1-x)2。(5)原式= x2+6x+5+4=x2+6x+9=(x+3)。(6)原式=[(a+2b+2)+(a-2b+2)][(a+ 2b+2)-(a-2b+2)]=46(2a十4)=8b(a十2)。(7)原式=x2(m-2)-y2(m-2)= (m-2)(x-)=(m-2)(x+)(x-y)。(8)原式=(x+6)(x-6)=（x+ )(+)(-)(9)原式=[32x-1)-232x-1)1+=[3(2-1) -1]2=(6x-4)2=4(3x-2)2。(10)原式=(am十an)十(bm十bm)=a(m十n)十b(m十 n)=(m十n)(a十b)。(11)原式=(4x2)2-2·4x2·y2+(y)2=(4x2-y2)2=[(2x十 y)(2x-y)]2=(2x+y)2(2x-y)2。(12)原式=(x2-x+1-x)(x2-x-1十x)= (x2-2x+1)(x2-1)=(x-1)2(x十1)(x-1)=(x-1)3(x十1)。2.解：(1)原式= (a-3)(2a-6-a)=(a-3)(a-6)。当a=2时，原式=(2-3)×(2-6)=4。(2)原式 =3xy(x2-2xy十y)=3xy(x-y)2。因为x-y=2,xy=3,所以原式=3×3×2= 36.3.解：1)原式=89×日-25×令=号×(89-25)=日×64=8。(2)原式= (202+54)×(202-54)+256×352=256×148+256×352=256×(148+352)=256× 500=128000。(3)原式=1022+2×102×98+982=(102+98)2=2002=40000. (4)原式=3020×(3020+1)-30212=3020×3021-30212=3021×(3020 3021)=3021×(-1)=-3021.4.解：原式=(n十7十n-5)(n十7-n十5)=(2n十 2)×12=24(n十1)。因为n为正整数，所以24(n十1)能被24整除。所以当n为任意 正整数时，(n十7)2-(n一5)2能被24整除。 阶段微测试（七） 1.D2.A3.A4.D5.D6.B7.-4a(2a-b)8.ax2+4ax十4a(答案不唯一) 9.x+y-110.411.解：(1)原式=-(2x2-18xy+4xy2)=-2x(x-9xy十 2y2)。(2)原式=-(x2+2xy十y)=-(x十y)。(3)原式=a(x-y)-16(x-y)= (x-y)(a2-16)=(x-y)(a+4)(a-4)。(4)原式=(x2+y-2xy)(x+y+2xy)= (x-y)(x十y)2.12.解：(1)原式=1002-(252+248)(252-248)=10000-500× 4=8000。(2)原式=(39.8一49.8)2=（一10）2=100.13.解：该桩管的横截面面积 为πR2-πr2=3.14×1.152-3.14×0.852=3.14×(1.15+0.85)×(1.15-0.85)= 3.14×2×0.3=1.884(m)。答：该桩管的横截面面积约为1.884m2.14.解：(1)由 题意，得m十4|十(n2-2n十1)=0，即m十4|+(n-1)2=0。因为m十4|≥0，(n 1)2≥0，所以m十4=0，n-1=0,解得=-4，n=1。(2)原式=x2十4y2+4xy-1= (x2+4xy+4y2)-1=(x+2y)2-1=(x十2y十1)(x+2y-1)。15.解：(1)原式=x +4x2y2+4y-4x2y2=(x2+2y2)2-4x2y2=(x2+2y2)2-(2xy)2=(x2+2y2+ 第37页（共48页） 2xy)(x2+2y2-2xy)。(2)原式=x2-2ax十a2-a2--2ab=x2-2ax+a2-(a2十b +2ab)=(x-a)2-(a十b)2=(x-a十a+b)(x-a-a-b)=(x十b)(x-2a-b)。 阶段微测试（八） 1.C2.A3.B4.A5.A6.B7.-18.6(a-b)(a+b)9.aa+④ 46 10.-1 2a2-8 L解：答案不唯一如：选A,B组成分式十6。 2at2a2=2a2.12.解：(1)原式=a+ba-Da+0-D 2a 且—b 3a(a+2) 3a a年oa-。6(2)原式=2+2)-D.-2+2-2+4-1 2a-a+b 1 x十2 (x十5)2 +2 .x-2)(x+2)=x十5.(x-2)(x+2)=x-2 (x+5)2 +2、(+5)2=+。13.解：原式=「2a+2 (a+2)(a-2) 21 2是2]：(a2十a三（&2习：(a-2)十a=己2(a2)十a=1时a,任意 报一个a的值，小明都可以用这个数加上1，马上说出这个代数式的值。14.解：(1)由 题意，得长途客运车原来所花的时间是三h,新修的高速公路开通后所花的时间是 十动)，则兰=兰=15。答：长途客运车原来所花的 时间是新修的高速公路开通后所花的时间的1.5倍。(2)之一证= s=1.5s-5=0.5s ()。答：新修的高速公路开通后，所花时间比原来缩短了3zh。15,解：由 中行分，知≠0士=5，即x-8+上-5.+士-8 x +1=+1+=(+）》广-1=8-1=8.÷+年高 1 基本功专练（四）解分式方程 1.解：(1)因为分式中分母不能为零，所以x≠0，且x≠一3。方程的两边都乘x(x十3)， 得x十3=4x。解这个方程，得x=1。经检验，x=1是原方程的根。(2)因为分式中分 母不能为零，所以x≠2。方程的两边都乘x一2，得2十x一1=0。解这个方程，得x= 一1。经检验，x=一1是原方程的根。(3)因为分式中分母不能为零，所以x≠0，且x≠ 士1。方程的两边都乘x(x十1)(x一1)，得4(x一1)一3(x十1)=0。解这个方程，得x =7。经检验，x=7是原方程的根。(4)因为分式中分母不能为零，所以x≠3。方程的 两边都乘一3，得2-x十3(x一3)=-2。解这个方程，得x=号。经检验，x=号是原 方程的根。(5)因为分式中分母不能为零，所以x≠1，且x≠一1。方程的两边都乘(x十 1)(x一1)，得2x(x十1)一2(x十1)(x-1)=x-1。解这个方程，得x=一3。经检验，x =一3是原方程的根。(6)因为分式中分母不能为零，所以x≠1，且x≠一1。方程的两 边都乘(x十1)(x一1)，得(x一1)-3=(x十1)(x-1)。解这个方程，得x=一2。经 检验，=一号是原方程的根。(7)因为分式中分母不能为零，所以x≠8，方程的两边 都乘3(x一3)，得2x十9=3(4x一7)十6(x一3)。解这个方程，得x=3。经检验，x=3 是原方程的增根。所以，原方程无解。(8)因为分式中分母不能为零，所以x≠2。方程 的两边都乘(x-2),得x(x-2)一（x-2)=4。解这个方程，得x=4。经检验，x=4 是原方程的根。2解：根据题意，得2名一之，解得x=日。经检验，x=合是 4x2x十1 1 原方程的根。…x的值是令。3，解：一正确的解答过程如下：因为分式中分母不 能为零，所以x≠2。方程的两边都乘x一2，得1十3x一6=1一x。解这个方程，得x= 之。经检验x=之是原方程的根。4.解：(1)根据题意，得弓十产=4，解得x 3 3 2 =号。经检验，x=号是原方程的根。(2)分两种情况讨论：①当口“表示的常数是-】 2 ,工=一1，此时方程无解；®当“口”表示的常数是0时，气十广 时x与1x x=0, 解得x=2。经检验，x=2是原方程的根。.“☐"表示的常数是0.5.解：(1)因为分 式中分母不能为零，所以x≠3，且x≠一3。方程的两边都乘(x十3)(x一3)，得2(x十 3)十mr=5(x-3。解这个方程，得x=2由题意，得写m>0:3 21≠士3，解得 m<3且m≠4。(2)由)，得(3一m)x=21。分式方程无解，∴3一m=0或3m =士3。解得m=3或m=10或m=一4。.m的值为3或10或-4。 第38页（共48页） 阶段微测试（九） B3.D4,B5.A6.D7x=-28.29.20010.x=a,x2 1山.解：(1)因为分式中分母不能为零，所以x≠号。方程的两边都乘2(3x一1)，得4一 2(3x一1)=3，解这个方程，得x=之。经检验x=号是原方程的根。(2)因为分式中 分母不能为零，所以x≠2，且x≠-2。方程的两边都乘2(2x十1)(2x一1D,得 2(x十1)=6(2x-1)-4(2x十1)。解这个方程，得x=6。经检验，x=6是原方程的根。 12.解：(1)分式的基本性质(2)因为分式中分母不能为零，所以x≠2。方程的两边都 乘x一2，得2x=1一1一3(x一2)。解这个方程，得x=号。经检验，x=子是原方程的 5 根。 1B解：设今年龙虾的平均面产员是xk8。根据题意，相50-器解得 300。经检验，x=300是原方程的根。答：今年龙虾的平均亩产量是300kg。14.解： (1)由题意，得x=-1是整式方程x-3十6=m的解，m=-1-3十6=2。(2)由(1) 知m=2,则原分式方程为十6=名2解得=号。经检验，工=号是原方程的 根。15.解：(1)设原计划每天铺设管道xm,则实际每天铺设管道(1十25%)xm。根据 3000 得25)十15=3000，解得x=40。经检验，x=40是原方程 ∴.(1十25%)x=50。答：原计划每天铺设管道40m,实际每天铺设管道50m。(2)3000 ÷40=75(天)。设该公司原计划应安排y名工人施工。根据题意，得300×75y≤ 180000,解得y≤8。答：该公司原计划最多应安排8名工人施工。 基本功专练（五）与平行四边形性质、判定有关的计算或证明 1.解：，四边形ABCD是平行四边形，∴.AB∥CD,∠B=∠D。∴.∠BAE=∠F=62。 AB=BE,∠BEA=∠BAE=62°。∠B=180°-∠BAE-∠BEA=56°。·∠D =56°。2.证明：四边形ABCD为平行四边形，.AO=CO。EF⊥AC,.EF垂 直平分AC。.EA=EC。3.证明：BC=4,OA=OC=5,∠CBD=90°，…BO= √OC-BC=√5-4=3。BD=6,∴.DO=BD-BO=6-3=3。.BO=DO。 .AO=CO,.四边形ABCD为平行四边形。4.证明：AB∥CD,.∠BAE= ∠DCF。AF=CE,.AF-EF=CE-EF。∴AE=CF。在△ABE和△CDF中， ∠BAE=∠DCF, ∠ABE=∠CDF,.△ABE≌△CDF(AAS)。,.AB=CD。·AB∥CD,.四边形 AE=CF, ABCD为平行四边形。5.证明：.AB⊥BD,CD⊥BD,.∠ABD=∠CDB=90°。在 )和Rt△CDB中，BD=DB,·Rt△ABD≌Rt△CDB(FH)。A 又：AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形。6.(1)证明：，AD∥BC,.∠BAD +∠ABC=180°。：∠BAD=∠BCD,.∠BCD+∠ABC=180°。.AB∥CD。.四 边形ABCD是平行四边形。(2)解：四边形ABCD是平行四边形，“CO=号AC,BD =2BO,AD=BC=3。,AC⊥BC,∠ACB=90°。.AC=WAB-BC=4。.CO= 合AC=2。∴B0-√BC+0=VE。BD=2B0=2B。7.I证明：连接 BD,交AC于点O。:四边形ABCD是平行四边形，.OA=OC,OB=OD。:AE= CF,OA=OC,∴.OA一AE=OC-CF,即OE=OF。又.OB=OD,∴.四边形BEDF是 平行四边形。(2)解：①：AB⊥BF,∴.∠ABF=90°。AF=AB+BF=√4+3 =5。AC=8,.CF=AC-AF=8-5=3。..AE=3。.EF=AF-AE=5-3=2。 ②由①可知，EF=2,AF=5,又”SAA=乞AB·BF=2X4X3=6,∴SA= 号SaA=号×6=号。：四边形BEDF是平行四边形，Sw=2Sag=号。 阶段微测试（十） 1.A2.C3.D4.B5.B6.C7.AD=BC(答案不唯-)8.439.310.36 11.证明：四边形ABCD是平行四边形，.AB=CD,∠B=∠D。又∠AEC= ∠AFC,∴.180°-∠AEC=180°-∠AFC,即∠AEB=∠CFD。∴.△AEB≌△CFD (AAS)。.BE=DF。12.证明：连接AF,CE。·四边形ABCD是平行四边形， .AB∥CD,AB=CD。.BE=DF,.AB+BE=CD+DF,即AE=CF。.AB∥CD .AE∥CF。四边形AECF是平行四边形。∴.OE=OF。13.解：(1)①③；③④： ①④；②④。(2)答案不唯一，如选择①④证明。：∠B十∠C=180°，.AB∥DC。 又：AD∥BC,.四边形ABCD是平行四边形。14.解：平行四边形证明如下：连 第39页（共48页）