精品解析：北京市东城区2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题

东城区2022-2023学年度第一学期期末统一检测 高二数学 本试卷共6页，满分100分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共36分） 一、选择题共12小题，每小题3分，共36分.在每个小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知向量，，且，那么实数的值为（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线的倾斜角为（ ）度 A. 45 B. 135 C. 60 D. 90 3. 抛物线的准线方程是（ ） A B. C. D. 4. 2021年9月17日，北京2022年冬奥会和冬残奥会主题口号正式对外发布——“一起向未来”（英文为：“Together for a Shared Future”），这是中国向世界发出的诚挚邀约，传递出14亿中国人民的美好期待.“一起向未来”的英文表达是：“Together for a Shared Future”，其字母出现频数统计如下表： 字母 t o g e h r f a s d u 频数 3 2 1 4 2 4 2 2 1 1 2 合计频数为24，那么字母“”出现的频率是（ ） A. B. C. D. 5. 设为数列的前项和，已知，，那么（ ） A. B. C. D. 6. 已知在长方体中，，，那么直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点是正方形两条对角线的交点.从这个正方形的四个顶点中随机选取两个，那么这两个点关于点对称的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 圆心为，半径的圆的标准方程为（　　） A. B. C. D. 9. 已知正四棱锥的高为4，棱的长为2，点为侧棱上一动点，那么面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 10. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，将第一次得到的点数记为，第二次得到的点数记为，那么事件“”的概率为（ ） A B. C. D. 11. 地震预警是指在破坏性地震发生以后，在某些区域可以利用“电磁波”抢在“地震波”之前发出避险警报信息，以减小相关预警区域的灾害损失.根据Rydelek和Pujol提出的双台子台阵方法，在一次地震发生后，通过两个地震台站的位置和其接收到的信息，可以把震中的位置限制在双曲线的一支上，这两个地震台站的位置就是该双曲线的两个焦点.在一次地震预警中，两地震台站和站相距.根据它们收到的信息，可知震中到站与震中到站的距离之差为.据此可以判断，震中到地震台站的距离至少为（ ） A. B. C. D. 12. 对于数列，若存在正数，使得对一切正整数，都有，则称数列是有界的.若这样的正数不存在，则称数列是无界的.记数列的前项和为，下列结论正确的是（ ） A. 若，则数列是无界的 B. 若，则数列是有界的 C. 若，则数列是有界的 D. 若，则数列是有界的 第二部分（非选择题 共64分） 二、填空题共6小题，每小题3分，共18分. 13. 已知空间向量，，若，则实数_____． 14. 在等差数列中，，，则______. 15. 两条直线与之间的距离是______. 16. 某单位组织知识竞赛，按照比赛规则，每位参赛者从5道备选题中随机抽取3道题作答.假设在5道备选题中，甲答对每道题的概率都是，且每道题答对与否互不影响，则甲恰好答对其中两道题的概率为______；若乙能答对其中3道题且另外两道题不能答对，则乙恰好答对两道题的概率为______. 17. 试写出一个中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，渐近线方程为的双曲线方程___________. 18. 已知点是曲线（其中a，b为常数）上的一点，设M，N是直线上任意两个不同的点，且.则下列结论正确的是______. ①当时，方程表示椭圆； ②当时，方程表示双曲线； ③当，，且时，使得是等腰直角三角形的点有6个； ④当，，且时，使得是等腰直角三角形的点有8个. 三、解答题共5小题，共46分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19. 某超市有A，B，C三个收银台，顾客甲、乙两人结账时，选择不同收银台的概率如下表所示，且两人选择哪个收银台相互独立. 收银台 顾客 A收银台 B收银台 C收银台 甲 a 0.2 0.4 乙 0.3 b 03 （1）求a，b的值； （2）求甲、乙两人在结账时都选择C收银台的概率； （3）求甲、乙两人在结账时至少一人选择C收银台的概率. 20. 在四棱雉中，底面是正方形，为棱的中点，，，再从下列两个条件中任选一个作为