专题1.17 三角形的证明（全章复习与巩固）（知识讲解）-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）

专题1.17 三角形的证明（全章复习与巩固）（知识讲解） 知识点一、全等三角形判定定理： 1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS) 2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS) 3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA) 4、有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS) 5、直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL） 知识点二、等腰三角形的性质 定理：等腰三角形有两边相等；(定义) 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 （三线合一） 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。 等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 知识点三、等腰三角形的判定 1. 有关的定理及其推论 定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”。） 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2. 反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出 与定义、公理、已证定理或已知条 件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。这种证明方法称为反证法 知识点四、直角三角形 1、直角三角形的性质 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方； 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。 2、直角三角形判定 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形； 3、互逆命题、互逆定理 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题. 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理. 知识点五、线段的垂直平分线 角平分线 1、 线段的垂直平分线。 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。（外心） 判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 2、 角平分线。 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。（内心） 判定：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 3、 逆命题、互逆命题的概念，及反证法 【典型例题】 类型一、三角形的证明➽➼等腰三角形➽➼性质✮✮判定 1． （2023春·辽宁大连·八年级统考期中）如图，是的角平分线，且D是的中点．求证：． 【分析】延长至，使，连接，根据角平分线的性质可得，根据中点性质可得，根据全等三角形的判定定理可得，继而即可，，等量代换即可求证结论． 解：证明：如图，延长至，使，连接， 是的角平分线， ， 是的中点， ， 在和中， （SAS）， ，， ， ， ． 【点拨】本题考查全等三角形的判定及其性质、涉及到角平分线的性质和中点性质，解题的关键是作辅助线构造全等三角形并加以证明． 举一反三： 【变式1】 （2023春·浙江温州·八年级瑞安市安阳实验中学校考期中）如图，在中，，平分，已知，，求的长． 【答案】 【分析】根据等腰三角形“三线合一”的性质可得，，利用勾股定理即可求解． 解：∵在中，，平分， ∴，， ∵， ∴, 在中，， ∴． 【点拨】题目主要考查等腰三角形的性质及勾股定理解三角形，熟练掌握运用等腰三角形的性质是解题关键． 【变式2】（2023春·山东日照·八年级统考阶段练习）如图所示，点E，F在BC上且． (1) 求证：； (2) 若PO平分，则PO与线段BC有什么关系?为什么? 【答案】(1)见详解 (2)PO垂直平分BC；理由见详解 【分析】（1）根据已知条件证明Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）即可得出结论； （2）根据Rt△ABF≌Rt△DCE可得出∠E＝∠F，即△PEF为等腰三角形，又因为PO平分∠EPF，根据三线合一可知PO垂直平分EF，从而得出PO垂直平分BC． （1）证明：∵BE＝CF，BC＝CB， ∴BF＝CE， 在Rt△ABF与Rt△DCE中， ∵ ∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）， ∴； （2）解：PO垂直平分BC， ∵Rt△ABF≌Rt△DC