精品解析：北京市西城区2023届高三上学期数学期末试题

北京市西城区2022—2023学年度第一学期期末试卷 高三数学2023.1 本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知全集，集合，则（ ） A B. C. D. 2. 设复数,则复数在复平面内对应的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3 已知函数，则（ ） A. 是奇函数，且在上是增函数 B. 是奇函数，且在上是减函数 C. 是偶函数，且在上是增函数 D. 是偶函数，且在上是减函数 4. 已知双曲线,则C的焦点到其渐近线的距离为（ ） A. B. C. 2 D. 3 5. 设，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 在中，若，则的面积是（ ） A. 1 B. C. D. 7. “空气质量指数（）”是定量描述空气质量状况的无量纲指数．当大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动．某地某天0~24时的空气质量指数随时间变化的趋势由函数描述,则该天适宜开展户外活动的时长至多为（ ） A. 5小时 B. 6小时 C. 7小时 D. 8小时 8. 设，均为锐角，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 在中，．P为边上的动点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形和正方形所在的平面互相垂直．是正方形及其内部的点构成的集合，是正方形及其内部的点构成的集合．设，给出下列三个结论： ①，使； ②，使； ③，使与所成的角为． 其中所有正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 的展开式中的常数项为________.（用数字作答） 12. 设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为__________． 13. 已知是等差数列,,且成等比数列,则______________;的前项和______________． 14. 设函数若,则的单调递增区间是___________;若的值域为,则的取值范围是_____________． 15. 人口问题是关系民族发展的大事．历史上在研究受资源约束的人口增长问题中，有学者提出了“Logistic model”：，其中均为正常数，且，该模型描述了人口随时间t的变化规律．给出下列三个结论： ①； ②在上是增函数； ③． 其中所有正确结论的序号是_______________． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）若，且，求x的取值范围． 17. 如图，四边形为梯形，，四边形为平行四边形． （1）求证：∥平面； （2）若平面，求： （ⅰ）直线与平面所成角的正弦值； （ⅱ）点D到平面的距离． 18. 近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的青睐．据统计，2021年12月至2022年5月全国新能源市场三种车型月度零售销量数据如下（单位：万辆）： 12月 1月 2月 3月 4月 5月 轿车 28.4 21.3 15.4 26.0 167 21.0 MPV 0.8 0.2 02 0.3 0.4 0.4 SUV 18.1 13.7 11.7 18.1 11.3 14.5 （1）从2021年12月至2022年5月中任选1个月份，求该月零售销量超过这6个月该车型月度零售销量平均值的概率； （2）从2022年1月至2022年5月中任选3个月份，将其中的月度零售销量相比上个月份增加的月份个数记为X，求X的分布列和数学期望； （3）记2021年12月至2022年5月轿车月度零售销量数据的方差为，同期各月轿车与对应的月度零售销量分别相加得到6个数据的方差为，写出与的大小关系．（结论不要求证明） 19. 如图，已知椭圆的一个焦点为，离心率为． （1）求椭圆E的方程； （2）过点作斜率为k的直线交椭圆E于两点A，B，的中点为M．设O为原点，射线交椭圆E于点C．当与的面积相等时，求k的值． 20. 已知函数,其中． （1）当时,求曲线在点处切线方程; （2）当时,判断的零点个数,并加以证明; （3）当时,证明:存在实数m,使恒成立． 21. 已知为有穷数列．若对任意的,都有（规定）,则称具有性质．设． （