第2章 命题点6 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系&命题点7 一元二次方程的实际应用（基础知识训练册）-【一战成名】2023福建中考数学考前新方案中考总复习

一战成名·福建数学 命题点６　一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 （６年１考 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 ） ２０２２版课标要求 １．会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等； ２．了解一元二次方程的根与系数的关系． 要点归纳 １．根的判别式：ｂ２－４ａｃ叫作一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０根的判别式． ２．方程根的情况与判别式的关系 （１）ｂ２－４ａｃ＞０方程有　两个不相等　的实数根； （２）ｂ２－４ａｃ＝０方程有　两个相等　的实数根（ｘ１＝ｘ２＝－ ｂ ２ａ）； （３）ｂ２－４ａｃ≥０方程有　两个　实数根； （４）ｂ２－４ａｃ＜０方程　没有　实数根． 注：由一元二次方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围时，若一元二次方程的二次项 系数含有字母，应注意二次项系数不为０这个隐含条件． ３．方程根与系数的关系 若方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０）有两个实数根ｘ１，ｘ２，则ｘ１＋ｘ２＝　　　　，ｘ１ｘ２＝　　　　． 【拓展知识】根与系数的常用变形 ｘ２１＋ｘ ２ ２＝（ｘ１＋ｘ２） ２－２ｘ１ｘ２；（ｘ１－ｘ２） ２＝（ｘ１＋ｘ２） ２－４ｘ１ｘ２； （ｘ１＋ｍ）（ｘ２＋ｍ）＝ｘ１ｘ２＋ｍ（ｘ１＋ｘ２）＋ｍ ２； １ ｘ１ ＋１ｘ２ ＝ ｘ１＋ｘ２ ｘ１ｘ２ ． 随堂练习 １．（华师九上Ｐ３３试一试改编）已知关于ｘ的方程ａｘ２－４ｘ＋１＝０． （１）若方程有两个不相等的实数根，则ａ的取值范围是　 ａ＜４且ａ≠０　； （２）若方程有两个相等的实数根，则ａ的值为　４　； （３）若方程没有实数根，则ａ的取值范围是　ａ＞４　； （４）若方程有两个实数根，则ａ的取值范围是　ａ≤４且ａ≠０　； （５）若该方程有实数根，则ａ的取值范围是　ａ≤４　． ２．若一元二次方程ｘ２－４ｘ－２＝０的两根分别为ｘ１，ｘ２，且ｘ１＞ｘ２，则： （１）ｘ１＋ｘ２＝　４　；（２）ｘ１·ｘ２＝　－２　；（３） １ ｘ１ ＋１ｘ２ ＝　－２　；（４）ｘ２１＋ｘ ２ ２＝　２０　． 变式　若关于ｘ的方程ｘ２＋ｍｘ－６＝０有一根是－３，则另一根为　２　． ７２ 一战成名·福建数学 命题点７　一元二次方程的实际应用 （６年２考 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 ） ２０２２版课标要求 １．能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程； ２．理解方程解的意义； ３．能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性． 要点归纳 常用数学问题及等量关系 １．变化率问题 （１）若基础量为ａ，平均增长率为ｘ，则第一次增长后为　ａ（１＋ｘ）　，第二次增长后为　ａ（１＋ｘ）２　， 若增长两次后的量为ｂ，则有　ａ（１＋ｘ）２＝ｂ　； （２）若基础量为ａ，平均下降率为ｘ，则第一次下降后为　ａ（１－ｘ）　，第二次下降后为　ａ（１－ｘ）２　， 若下降两次后的量为ｂ，则有　ａ（１－ｘ）２＝ｂ　． 例１　（人教九上Ｐ１９探究２）两年前生产１ｔ甲种药品的成本是５０００元，生产１ｔ乙种药品的 成本是６０００元．随着生产技术的进步，现在生产１ｔ甲种药品的成本是３０００元，生产 １ｔ乙种药品的成本是３６００元．则甲、乙两种药品成本的年平均下降率大小关系为： 甲　＝　乙．（填“＞”“＜”或“＝”） 【思维点拨】设甲种药品成本的年平均下降率为ｘ，则一年后甲种药品成本为　５０００（１－ｘ）　， 两年后甲种药品成本为　５０００（１－ｘ）２　，故可列方程为　５０００（１－ｘ）２＝３０００　；设乙种 药品成本的年平均下降率为ｙ，则一年后乙种药品成本为　６０００（１－ｙ）　，两年后乙种药品 成本为　６０００（１－ｙ）２　，故可列方程为　６０００（１－ｙ）２＝３６００　． ２．面积问题 （１）如图①，设空白部分的宽为ｘ，则Ｓ阴影 ＝　（ａ－２ｘ）（ｂ－２ｘ）　； （２）如图②、图③、图④，设阴影道路的宽为ｘ，则Ｓ空白 ＝　（ａ－ｘ）（ｂ－ｘ）　； 图① 　　 图② 　　 图③ 　　 图④ （３）如图⑤，长为ａ，宽为ｂ的矩形ＡＢＣＤ的四个角都剪去一个边长为ｘ的正方形后做成一个 无盖的盒子，则该盒子的底面积Ｓ＝　（ａ－２ｘ）（ｂ－２ｘ）　； 图⑤ 　　 图⑥ （４）如图⑥，用总长为ｍ的篱笆，一边靠墙，围成一个矩形，若平行于墙的一边长为ｘ（墙面长 度大于ｘ），则所围成矩形的面积为Ｓ＝　　　　． ８