第2章 命题点5 一元二次方程及其解法（基础知识训练册）-【一战成名】2023福建中考数学考前新方案中考总复习

一战成名·福建数学 命题点５　一元二次方程及其解法 （近６年未单独考查 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 ） ２０２２版课标要求 １．经历估计方程解的过程； ２．理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程． 要点归纳 １．一元二次方程的一般形式 形如ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０）的方程叫作一元二次方程，其中　ａ　是二次项系数，　ｂ　是一次 项系数，　ｃ　是常数项． 【为什么ａ≠０呢】对于方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０，只有当　ａ≠０　时才是一元二次方程；如果说ａｘ２ ＋ｂｘ＋ｃ＝０是一元二次方程，则必然隐含着　ａ≠０　． ２．一元二次方程必须同时 獉獉獉獉 满足以下三个条件（先化简，再判断）： （１）是　整式方程　；（２）只含有　一　个未知数；（３）未知数的最高次数是　２　． ３．一元二次方程的解法（基本思想：降次） 解法 适用形式 方程的根 公式法 所有一元二次方程： ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０，ｂ２－４ａｃ≥０） 求根公式为 ｘ＝　　　　　　　　　　　　 （ｂ２－４ａｃ≥０）， 在使用求根公式时： （１）要先将一元二次方程化为一般式； （２）确定ａ，ｂ，ｃ的值时要带符号； （３）需先判断ｂ２－４ａｃ与０的大小关系，当ｂ２－ ４ａｃ＜０时，方程无解． 直接开 平方法 形如（可化为）ｘ２＝ｐ（ｐ≥０） ｘ＝　±槡ｐ　 形如（可化为）（ｘ＋ｎ）２＝ｐ（ｐ≥０） ｘ＝　±槡ｐ－ｎ　 因式分 解法 形如（可化为）（ｘ－ａ）（ｘ－ｂ）＝０ ｘ１＝　ａ　，ｘ２＝　ｂ　 形如（可化为）ｘ（ａｘ＋ｂ）＝０（ａ≠０） ｘ１＝　　　　，ｘ２＝　　　　 配方法 所有一元二次方程，一般用于： （１）二次项系数化为１后，一次项 系数是偶数； （２）一次项系数较小且便于配方； 形如ｘ２＋２ｍｘ＝ｎ（ｎ＋ｍ２≥０） ｘ＝± ｎ＋ｍ槡 ２－ｍ ５２ 一战成名· 檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 殏 殏殏 殏 福建数学 利用配方法求最值 用配方法求二次三项式的最值，需要把二次三项式配方成ａ（ｘ＋ｈ）２＋ｋ的形式，当ａ＜０，ｘ ＝－ｈ时，该二次三项式有最大值，为ｋ；当ａ＞０，ｘ＝－ｈ时，该二次三项式有最小值，为ｋ． 当ｘ＝　３　时，代数式ｘ２－６ｘ＋１０有最　小　（填“大”或“小”）值，是　１　； 当ｘ＝　－２　时，代数式２ｘ２＋８ｘ－３有最　小　（填“大”或“小”）值，是　－１１　； 当ｘ＝　－４　时，代数式－１２ｘ ２－４ｘ＋７的最大值是　１５　． 随堂练习 １．（北师九上Ｐ３６做一做改编）ｘ２＋８ｘ＋　１６　＝（ｘ＋４）２；ｘ２－１２ｘ＋　３６　＝（ｘ－　６　）２． ２．已知关于ｘ的一元二次方程ｘ２＋３ｘ－ｍ＝０的一个根是ｘ＝２，则ｍ的值为　１０　． 变式　若关于ｘ的一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ－３＝０（ａ≠０）有一个根为ｘ＝２０２１，则方程ａ（ｘ－ １）２＋ｂｘ－３＝ｂ必有一根为　ｘ＝２０２２　． ３．解下列方程： （１）２（ｘ＋３）２＝１８． （最佳方法：　直接开平方法　） 解：∵２（ｘ＋３）２＝１８， ∴（ｘ＋３）２＝９， ∴ｘ＋３＝±３， ∴ｘ１＝０，ｘ２＝－６． 　　　　 （２）ｘ２－２ｘ－４＝０． （最佳方法：　配方法　） 解：∵ｘ２－２ｘ－４＝０， ∴ｘ２－２ｘ＝４， ∴ｘ２－２ｘ＋１＝４＋１，即（ｘ－１）２＝５， ∴ｘ－１＝±槡５， ∴ｘ１＝１＋槡５，ｘ２＝１－槡５． （３）２ｘ２＋３ｘ＝１． （最佳方法：　公式法　） 解：∵２ｘ２＋３ｘ＝１， ∴２ｘ２＋３ｘ－１＝０， ∵ｂ２－４ａｃ＝３２－４×２×（－１）＝１７＞０， ∴ｘ＝－ｂ± ｂ ２－４槡 ａｃ ２ａ ＝ －３±槡１７ ２×２ ， 解得ｘ１＝ －３＋槡１７ ４ ，ｘ２＝ －３－槡１７ ４ ． （４）３（ｘ－２）＝（ｘ－２）２． （最佳方法：　因式分解法　） 解：∵３（ｘ－２）＝（ｘ－２）２， ∴（ｘ－２）２－３（ｘ－２）＝０， ∴（ｘ－２）（ｘ－２－３）＝０， ∴ｘ１＝２，ｘ２＝５． ６２ 一战成名·福建数学 基 础 知 识 训 练 册 随堂练习 １．ｘ≠０；ｘ＝５；－３２；ｘ≠５；无解；２；ｘ为任意实数；ｘ＝０； ２ ５；ｘ≠ －１，ｘ＝１；１３ ２．（１）ｘ＋２；（２） １ａ＋２；（３） １ ａ－２；（４） １ ｘ－１ ３．原式＝ａ＋１，当ａ