第1章 命题点4 二次根式及其运算（基础知识训练册）-【一战成名】2023福建中考数学考前新方案中考总复习

一战成名·福建数学 命题点３　平方根、算术平方根、立方根 （近６年未单独考查 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 ） ２０２２版课标要求 １．了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根； ２．了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内完全平方数的平方根，会用立方运算求千以内 完全立方数（及对应的负整数）的立方根，会用计算器计算平方根和立方根． 要点归纳 平方根 算术平方根 立方根 表示形式 ±槡 槡ａ ａ ３ 槡ａ 正数 两个，且互为相反数 　一个，且为正数　 一个，且为正数 负数 无 无 　一个，且为负数　 ０ ０ 　０　 ０ 等于其本身 　０　 　０、１　 　－１、０、１　 随堂练习 １．按要求完成下表 ４ ８ ２７ －２７ ０ 槡４９ 槡２５６ 平方根 　±２　 　±２槡２　 　±３槡３　 无 　０　 　±槡７　 　±４　 算术平方根 　２　 　２槡２　 　３槡３　 无 　０　 　槡７　 　４　 立方根 　３槡４　 　２　 　３　 　－３　 　０　 　 ３ 槡７　 　 ３ 槡１６　 命题点４　二次根式及其运算 （近６年未单独考查 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 ） ２０２２版课标要求 了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它 们进行简单的四则运算． 要点归纳 １．二次根式的有关概念 （１）定义：形如槡ａ（ａ　≥０　）的式子叫作二次根式，ａ叫作　被开方数　． （２）二次根式有意义的条件：被开方数　≥　０； ５ 一战成名·福建数学 （３）最简二次根式必须满足的两个条件 ①被开方数不含　分母　，如 １ 槡３ ， １ 槡２ 均不是最简二次根式； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，如槡８，槡１２均不是最简二次根式． （４）同类二次根式：化为最简二次根式后，  被开方数相同的几个二次根式称为同类二次根式． 如槡１２（化简后为２槡３）与槡３就是同类二次根式． ２．二次根式的性质 （１）槡ａ≥０，二次根式具有双重非负性： （２）（槡ａ） ２＝　ａ　（ａ≥０）； （３） ａ槡 ２＝｜ａ｜＝ 　ａ　（ａ≥０）， 　－ａ　（ａ＜０{ ），注：只有当ａ≥０时， ａ槡２＝（槡ａ）２． ３．二次根式的运算 （１）乘法运算：槡ａ·槡ｂ＝　槡ａｂ　（ａ≥０，ｂ≥０）； （２）除法运算：槡ａ 槡ｂ ＝　　　　　或槡ａ÷槡ｂ＝　　　　　（ａ≥０，ｂ＞０）； （３）加、减运算实质：同类二次根式运算； 步骤：①化简为最简二次根式；②合并同类二次根式； （４）混合运算：先乘除，再加减；有括号先算括号里的（或先去掉括号）． ４．分母有理化（常在分式化简求值中代入含有根号数值时使用） （１）单项分母：利用公式（槡ａ） ２＝ａ． 如 ２ ３槡３ ＝ ２×槡３ ３槡３×槡３ ＝２槡３９； １ 槡３ ＝１ 槡３ ＝１×槡３ 槡３×槡３ ＝槡３３． （２）两项分母：利用平方差公式（槡ａ＋槡ｂ）（槡ａ－槡ｂ）＝ａ－ｂ． 如 ５ 槡３＋槡２ ＝ ５（槡３－槡２） （槡３＋槡２）（槡３－槡２） ＝ ５（槡３－槡２） （槡３） ２－（槡２） ２ ＝５（槡３－槡２）３－２ ＝５（槡３－槡２）． ５．非负数的性质 （１）常见的非负数有：｜ａ｜，ａ２，槡ａ（ａ≥０）； （２）若几个非负数的和为０，则这几个非负数分别为０．若｜ａ｜＋ｂ２＋槡ｃ＝０，则ａ＝ｂ＝ｃ＝０． 随堂练习 １．（华师九上Ｐ１５第２题改编）已知ａ为实数，ａ取何值时，下列式子有意义？ （１） ３－槡 ａ：　ａ≤３　 ；　（２） １ －ａ槡 －３ ：　ａ＜－３　 ；　（３） ａ槡 ＋３１－ａ：　ａ≥－３且ａ≠１　 ． ２．计算下列各式： （１） （－４）槡 ２＝　４　；（－槡４） ２＝　４　； ４槡 ２＝　４　；（２）（槡３＋槡２）×槡６＝　３槡２＋２槡３　； ６ 一战成名·福建数学 （３）槡８÷（槡２－１）＝　４＋２槡２　；（４）（槡５－２） ２０２２ （槡５＋２） ２０２３ ＝　槡５＋２　； （５）（槡３－槡２）（槡３＋槡２）＝　１　． 变式　已知ａ＝ １ 槡３－槡２ ，ｂ＝ １ 槡３＋槡２ ，则ａ＋ｂ的值为　２槡３　． ３．（１）若 ａ槡 －１＋（ｂ＋４） ２＝０，则ａｂ的值为　－４　； （２）若｜ａ－２｜＋ ｂ槡 ＋３＋（ｃ