圆锥曲线 专题训练-2023届高三数学二轮复习

2023届高三数学二轮复习——平面解析几何专题训练 1．（2022·浙江·长兴县教育研究中心高二期中）已知圆的方程为，是经过且互相垂直的两条直线，其中交圆于两点，交轴于点． (1)若，求直线的方程； (2)求面积的最小值． 2．（2022·浙江·长兴县教育研究中心高二期中）已知椭圆，长轴长为，过点且与轴平行的直线被椭圆截得的线段长为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设过点的动直线（不与轴垂直）与椭圆交于两点，是否在轴上存在定点，使得与的斜率之积为定值？若存在，求出所有满足条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2022·四川·成都七中高二期中（理））设椭圆 ​的右焦点为​，右顶点为​，上顶点为​. 已知椭圆 的短轴长为​，且有​. (1)求椭圆的方程; (2)设 ​为该椭圆上两动点，​分别为​在​轴上的射影，而直线​、​的斜率分别为、​，满足​，其中​为原点. 记​和​的面积之和为​，求​的最大值 4．（2022·河南·商丘市第一高级中学高三开学考试（文））已知椭圆C：，长轴是短轴的3倍，点在椭圆C上. (1)求椭圆C的方程； (2)若过点且不与y轴垂直的直线l与椭圆C交于M，N两点，在x轴的正半轴上是否存在点，使得直线TM，TN斜率之积为定值？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由. 5．（2022·河南河南·模拟预测（理））过椭圆上任意一点作直线 (1)证明:; (2)若为坐标原点，线段的中点为，过作的平行线与交于两点，求面积的最大值. 6．（2023·河南·洛宁县第一高级中学一模（文））已知椭圆的离心率为，椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合． (1)求椭圆的方程； (2)如图，、是椭圆的左、右顶点，过点且斜率不为的直线交椭圆于点、，直线与直线交于点．记、、的斜率分别为、、，是否存在实数，使得？ 7．（2022·河南·新安县第一高级中学模拟预测（文））已知椭圆C：＝1的左焦点为F，右顶点为A，离心率为，M为椭圆C上一动点，面积的最大值为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点M的直线l：y=kx+1与椭圆C的另一个交点为N，P为线段MN的中点，射线OP与椭圆交于点D．点Q为直线OP上一动点，且，求证：点Q到x轴距离为定值． 8．（2022·河南·高三阶段练习（文））已知椭圆：的离心率为，，分别为椭圆的左、右焦点，过且与轴垂直的直线与椭圆交于点，，且的面积为． (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线与椭圆交于不同于右顶点的，两点，且，判断直线是否过定点，并说明理由． 9．（2022·河南焦作·高三期中（理））已知椭圆的左、右焦点分别为，以线段为直径的圆与椭圆仅有个不同的公共点，且椭圆上一点到的距离之和为． (1)求的方程； (2)经过定点的动直线交于，两点，，若恒成立，求点到点的最小距离． 10．（2022·河南·高三阶段练习）已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且． (1)求抛物线的标准方程． (2)直线：与抛物线交于，两点，点，若（为坐标原点），直线是否恒过点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由． 参考答案 1． 【详解】（1）圆的方程为，圆心，半径． 若垂直于轴，则不合题意， 故斜率存在，设为，则的方程为，即． ，到的距离，，解得， 故直线的方程为，即． （2）由已知，斜率不为0，故斜率存在． 当斜率不存在时，方程为，则，此时方程为，此时， ． 当斜率存在时，设即，则圆心到直线的距离为． ， 方程为，即，，则点到的距离为． . 综上：面积的最小值为． 2． 【详解】（1）由已知． 设过点且与轴平行的直线交椭圆于点， 则． 代入椭圆方程为， 椭圆C的标准方程为． （2）假设存在满足条件． 设直线方程为，， 联立，则有, ， 由已知与无关，， 当时，为定值；当时，为定值． 存在定点使得与的斜率之积为定值． 3． 【详解】（1）由题设知 ​，设椭圆半焦距为​，则，，，，又,则​， 又​，可得​，则椭圆的方程为​. （2）联立 ​，得， 可得 ​，，而​的面积为 ​，同理，​的面积为​，故​， 而 ​ ​ 令 ​，则​， 故当 ​，即​或​时，​取到最大值​. 4． 【详解】（1） 由题意得a＝3b，故椭圆C为， 又点在C上，所以，得，， 故椭圆C的方程即为； （2） 由已知知直线l过，设l的方程为x＝my＋1， 联立两个方程得，消去x得：， 得， 设，，则（*）， ， 将（*）代入上式，可得：， 要使为定值，则有，又∵，∴t＝3， 此时， ∴存在点，使得直线TM与TN斜率之积为定值，此时t＝3. 5． 【详解】（1） 联立，消去整理得：， 因为点在上，所以 化简得. （2） 设，点，则. 由已知得，所以， 即点满足方程，所以. 由 得 ， 设，则. 所以 所以 ， 令，因为，所以. 所以 所以面积的最大值