9.4 向量应用（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

9.4　向量应用 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.能用向量方法解决简单的几何、力学和其他实际问题． 2.体会向量在解决数学和实际问题中的作用，培养学生的运算、分析和解决实际问题的能力． 重点 难点 重点：掌握用向量方法解决简单的几何问题、力学问题等一些实际问题． 难点：培养运用向量知识解决实际问题的能力. 面几何问题 向量运算 x1x2＋y1y2＝0 数量积 答案：A　 答案：－40　 [方法技巧] 　 用向量方法解决物理问题的四个步骤 “四翼”检测评价见“四翼”检测评价（十） (单击进入电子文档) 37 1．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平____________转化为向量问题； (2)通过_________，研究几何元素之间的关系； (3)把运算结果“翻译”成几何关系． 2．向量在平面几何中的应用 (1)证明线段平行或点共线问题，常用向理共线定理： a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0. (2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质： a⊥b⇔a·b＝0⇔______________. (3)求夹角问题，用夹角公式： cos θ＝＝_________________ (θ为a与b的夹角)． (4)计算线段长度，常用模长公式： ||＝ . 3．向量在物理中的应用 (1)物理问题中常见的向量有力、速度、加速度、位移等． (2)向量的加、减法运算体现在力、速度、加速度、位移的合成与分解． (3)动量mv是向量的数乘运算． (4)功是力F与所产生的位移s的________． 1．在△ABC中，已知A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，则BC边的中线AD的长是(　　) A．2　　　　　　 B. C．3 D. 解析：BC中点为D，＝，所以＝. 答案：B　 2．在△ABC中，若(＋)·(－)＝0，则△ABC (　　) A．是正三角形 B．是直角三角形 C．是等腰三角形 D．形状无法确定 解析： (＋)·(－)＝2－2＝0，即＝，∴CA＝CB，则△ABC是等腰三角形． 答案：C　 3．如果一架飞机向东飞行200 km，再向南飞行300 km，记飞机飞行的路程为s，位移为a，那么 (　　) A．s＞|a| B．s＜|a| C．s＝|a| D．s与|a|不能比大小 解析：s＝200＋300＝500(km)，|a|＝ ＝100(km)，∴s＞|a|.故选A. 4．当两人提起重量为G的旅行包时，夹角为θ，两人用力大小都为|F|，若|F|＝|G|，则θ的值为________． 解析：作＝F1，＝F2，＝－G，则＝＋，当|F1|＝|F2|＝|G|时，△OAC为正三角形，所以∠AOC＝60°.从而∠AOB＝120°，即θ＝120°. 答案：120° —————————————————————————————— 向量在平面几何证明中的应用 —————————————————————————————————— [典例]　如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点．求证：AF⊥DE. [证明]　法一：设＝a，＝b，则|a|＝|b|，a·b＝0. 又＝＋＝－a＋b，＝＋＝b＋a，所以· ＝·＝－a2－a·b＋b2＝－|a|2＋|b|2＝0. 故⊥，即AF⊥DE. 法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，＝(2,1)，＝(1，－2)． 因为·＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0， 所以⊥，即AF⊥DE. 平面几何中利用向量证明的常见问题及方法 (1)常见的利用向量证明的问题 ①利用向理共线定理证明线段平行或点共线； ②利用向量的模证明线段相等； ③利用向量的数量积为0证明线段垂直． (2)常用的两个方法 ①基向量法：选取已知的不共线的两个向量作为基向量，用基向量表示相关向量，转化为基向量之间的向量运算进行证明． ②坐标法：先建立直角坐标系，表示出点、向量的坐标，利用坐标运算进行证明. 　　 [对点训练] 如图，已知AD，BE，CF是△ABC的三条高，且交于点O，DG⊥BE于G，DH⊥CF于H.求证：HG∥EF. 证明：∵⊥，⊥， ∴∥. 设＝λ (λ≠0)，则＝λ. 同理＝λ. 于是＝－＝λ(－)＝λ， ∴∥，即HG∥EF. —————————————————————————————— 利用平面向量求几何中的长度问题 —————————————————————————————————— [典例]　如图，在平行四边形ABCD中，AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长． 　 [解]　设＝a，＝b，则＝a－b，＝a＋b. ∵||＝|