1.2 任意角（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

§2　任意角 (一)角的概念推广 1．角的概念 平面内一条射线OA绕着它的端点O按箭头所示方向旋转到终止位置OB，形成角α.其中点O是角α的顶点，射线OA是角α的 ，射线OB是角α的 ． 始边 终边 2．角的分类 (1)正角、负角的引入是从正数、负数类比而来的，它们是用来表示具有相反意义的旋转量的． (2)对任意角的形成过程，既要知道旋转量又要知道旋转方向． (3)角的概念推广后，角度的范围不再限于0°～360°. 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)小于90°的角都是锐角. (　　) (2)终边与始边重合的角为零角． (　　) (3)大于90°的角都是钝角． (　　) (4)将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是120°. (　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．下列说法正确的是 (　　) A．最大角是180°　　　　 B．最大角是360° C．角不可以是负的 D．角可以是任意大小 解析：由角的定义，角可以是任意大小的．故选D. 答案：D　 (二)象限角及其表示 1．象限角 在平面直角坐标系中，角的顶点在 ，始边在 ．角的终边(除端点外)在平面直角坐标系的第几象限，就说这个角是____________．如果角的终边在 上，这个角就不属于任何象限． 2．终边相同的角 一般地，给定一个角α，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β| }，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和． 坐标原点 x轴的非负半轴 第几象限角 坐标轴 β＝α＋k·360°，k∈Z (1)角α为任意角，“k∈Z”不能省略． k有三层含义：①特殊性：对k每赋一个整数值就有一个具体对应的角．②一般性：表示所有与角α终边相同的角(包括α自身)．③从几何意义上看，k表示角的终边按一定的方向转动的圈数．k取正整数时，逆时针转动；k取负整数时，顺时针转动；k＝0时，没有转动． (2)k·360°与α中间要用“＋”连接，k·360°－α可理解成k·360°＋(－α)． —————————————————————————————————— 3．象限角的集合表示 象限角 象限角α的集合表示 第一象限角 {α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z} 第二象限角 {α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z} 第三象限角 {α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z} 第四象限角 {α|k·360°＋270°<α<k·360°＋360°，k∈Z} 4．终边相同的角的相关结论 (1)终边相同的角之间相差360°的整数倍． (2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍． (3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍． 1. 90°角是　 (　　) A．第一象限角　　　　　　 B．第二象限角 C．第一或第二象限角 D．不属于任何象限 答案：D 2．下列各角是第三象限角的是 (　　) A．15° B．105° C．215° D．315° 答案：C 3．在坐标系中终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同吗？ 提示：一定. 在平面直角坐标系中来讨论角时必须满足以下条件：角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的非负半轴．因此，相等的角终边一定相同． 4．0°角的终边与始边重合，终边与始边重合的角都是0°吗？ 提示：不是，如±360°，±720°等． [解析]　(1) 因为钟表的表盘中每一格的角度是30°，从8点转到10点，共转过2个格，故大小为60°，又时针为顺时针方向旋转，故形成的角为－60°. (2)如图所示，∠AOD＝∠AOB＋∠BOC＋∠COD＝(－80°)＋250°＋(－270°)＝－100°. [答案]　(1)D　(2)－100° [方法技巧]　理解角的概念的三个“明确” [对点训练] 写出图(1)(2)中的角α，β，γ的度数． 解：题图(1)中，α＝360°－30°＝330°.题图(2)中，β＝－360°＋60°＋150°＝－150°；γ＝360°＋60°＋(－β)＝360°＋60°＋150°＝570°. [典例]　已知α＝－1 845°，在与α终边相同的角中，求满足下列条件的角： (1)最小的正角； (2)最大的负角； (3)－360°～720°之间的角． [解]　因为－1 845°＝－45°＋(－5)×360°，即－1 845°角与－45°角的终边相同， 所以与角α终边相同的角的集合是{β