1.4.2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

4．2　单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 (一)正弦函数和余弦函数的基本性质 正弦函数值和余弦函数值都具有周期性，即角α的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现一次，这说明了角与正弦函数值和余弦函数值的对应关系是多角对一值的关系，即如果给定一个角，它的正弦函数值和余弦函数值只要存在就是唯一的；反过来，如果给定一个正弦函数值和余弦函数值，却有无穷多个角与之对应． 2．函数y＝2－2cos x的单调递增区间是______________． 答案：[2kπ，2kπ＋π](k∈Z) 3．函数y＝2sin x－1的值域是________． 解析：∵x∈R，∴－1≤sin x≤1，∴－3≤2sin x－1≤1，∴y∈[－3,1]． 答案：[－3,1] (二)正弦函数值和余弦函数值的符号 如图，在平面直角坐标系中， (1)当点P(u，v)在第一、第二象限或y轴的正半轴时，正弦函数值(v＝sin α)为 ;当点P在x轴上时，正弦函数值为 ；当点P在第三、第四象限或y轴的负半轴时，正弦函数值为 ． (2)当点P在第一、第四象限或x轴的正半轴时，余弦函数值为 ;当点P在y轴上时，余弦函数值为 ；当点P在第二、第三象限或x轴的负半轴时，余弦函数值为 ． 正 负 正 负 零 零 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若α是三角形的内角，则必有sin α＞0. (　　) (2)若α是第二象限角，且P(x，y)是其终边与单位圆的交点，则cos α＝－x. (　　) (3)若sin α＞0，则α是第一或第二象限角． (　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)× 2．若角α是第三象限角，则点P(2，sin α)所在象限为 (　　) A．第一象限　　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：由α是第三象限角知，sin α＜0，因此P(2，sin α)在第四象限，故选D. 答案：D　 对于形如y＝asin x＋b的函数性质的研究可借助正弦函数v＝sin x的性质．要清楚a，b对函数y＝asin x＋b的影响，若参数不确定还要注意分类讨论．　　 [解]　由余弦函数u＝cos x的基本性质可知函数y＝2cos x－4的性质如下： 定义域：R；值域：[－6，－2]； 最值：当x＝2kπ(k∈Z)时，取得最大值－2； 当x＝(2k＋1)π(k∈Z)时，取得最小值－6. 周期：周期为2kπ(k∈Z，且k≠0)，最小正周期为2π. 单调区间：由余弦函数u＝cos x的单调性可知，y＝2cos x－4在区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上单调递增，在区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上单调递减． 对于形如y＝acos x＋b的函数性质的研究可借助余弦函数v＝cos x的性质．要清楚a，b对函数y＝acos x＋b的影响，若参数不确定还要注意分类讨论．　　 判断角的终边所在象限的相关结论 (1)若正弦函数值为正，则角的终边在第一或第二象限或y轴非负半轴上；若正弦函数值为负，则角的终边在第三或第四象限或y轴非正半轴上． (2)若余弦函数值为正，则角的终边在第一或第四象限或x轴非负半轴上；若余弦函数值为负，则角的终边在第二或第三象限或x轴非正半轴上．　　 [对点训练] 若sin α>0，cos α<0，则角α的终边所在象限是 (　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：因为sin α>0，所以角α的终边在第一或第二象限或y轴的非负半轴上．因为cos α<0，所以角α的终边在第二或第三象限或x轴的非正半轴上，综上可知，角α的终边在第二象限． 答案：B　 一、在典题训练中内化学科素养 本节是三角函数的基础知识，高考在本节考查的重点是三角函数的定义及应用，一般与其他知识交汇命题，体现数学运算和逻辑推理的核心素养． 1．(2020·全国卷Ⅱ)若α为第四象限角，则 (　　) A．cos 2α＞0　　　　　　 B．cos 2α＜0 C．sin 2α＞0 D．sin 2α＜0 2．若tan α>0，则 (　　) A．sin α>0 B．cos α>0 C．sin 2α>0 D．cos 2α>0 由α的三角函数值的符号判断其他三角函数值的符号时，准确推出其所在象限是关键．　　 3. 函数y＝cos x在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是________． 解析：因为y＝cos x在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，所以只有－π<a≤0时满足条件，故a∈(－π，0]． 答案：(－π，0] 注重实践应用 4．sin 3________ sin 2(填“>”或“<”)． 5．若三角形的两个内角α，β满足si