1.4.2单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 导学案-2021-2022学年高一下学期数学北师大版（2019）必修（第二册）

《1.4.2单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质》 （导学案 教师版） 胡琪 【配套课件：https://www.zxxk.com/soft/31932973.html?spm=a1.b9.c14.d55】 ※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※ 聚焦知识目标 能借助单位圆了解正弦函数、余弦函数的有关性质(定义域、值域、最值、周期性、单调性、符号)． 数学素养 1.通过性质的建立过程，培养逻辑推理素养． 2.通过性质的应用，提升数学运算素养. ※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※ 新课引入 前面我们学习了周期现象，角的一边可以绕角的顶点旋转，得到了终边相同的角，如图所示 上一节利用单位圆得到了正余弦函数的定义，今天我们利用单位圆学习正弦函数、余弦函数的周期性及性质. ※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※ 定义域 根据正弦函数v=sin α和余弦函数u=cos α的定义,我们不难从单位圆看出它们定义域是R; 例1.求下列函数定义域 =2sin2x 2.y=cosx+1 分析：这两个函数的主体是正余弦函数，整个函数的定义域由正弦函数决定。 解：以上两个函数的定义域都是R 例2.求下列函数定义域 = 4.y= 分析：这两个函数的虽然含有正余弦函数，但受分式和根式的影响，正余弦函数的函数值有限制，从而导致定义域不再是R，这要结合单位圆来解。 解：3.sin2x≠0，2x≠k𝛑 (k∈z)，x≠ (k∈z)， 4. cosx≥， 取个特殊角，比如0试试，余弦值是1，满足不等式，单位圆上找到余弦值为二分之一的位置， ※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※ 观察单位圆，回答问题 当_____ ______________时，正弦函数y＝sinx取得最大值_1___；当___________________时，正弦函数y＝sinx取得最小值___-1___. 当______________时，余弦函数y＝cosx取得最大值_1___；当___________________时，余弦函数y＝cosx取得最小值____-1__. 【例3】求函数y=cosα在区间[ ]上的最大值和最小值，并写出取得最大值和最小值时自变量α 的值 解： 画出图，可知： 当 时，函数y=cosα取得最大值，最大值为 当 时，函数y=cosα取得最小值，最小值为- 例4.求下列函数的最小正周期及值域. (1)y=-cos x+2;(2)y=asin x+b(a<0). 解析： (1)当y=cos x取得最大值时,y=-cos x+2取得最小值,而当y=cos x取得最小值时,y=-cos x+2取得最大值,所以y=-cos x+2的值域是[1,3] (2)因为-1≤sin x≤1,且a<0,所以当sin x=-1时,ymax=-a+b;当sin x=1时,ymin=a+b,所以y=asin x+b的值域是[a+b,-a+b] ※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※ . 周期性 根据正弦函数、余弦函数的定义(如图)，有 终边相同的角的正弦函数值相等,即对任意k∈Z,sin(a+2kx)=sin𝛂，𝛂∈R:终边相同的角的余弦函数值相等，即对任意k∈Z. cos(a+2k𝛑)=cos a，a∈R.上述两个等式说明：对于任意一个角α，每增加2π的整数倍，其正弦函数值、余弦函数值均不变，所以正弦函数v=sinα和余弦函数u=cos a均是周期函数.对任何k∈z，k≠0,2k𝛑均是它们的周期，最小正周期为2π. . 例6.函数y=2-sin x的最小正周期为______.  【解析】因为2-sin(2π+x)=2-sin x,所以y=2-sin x的最小正周期为2π. 答案:2π ※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※ 单调性 观察单位圆 根据正弦函数的定义，在单位圆中，如图，当角α由-增加到时，sina的值由一1增加到1；如图，当角α由增加到时，sina的值由1减小到-1，因此正弦函数在区间 (k∈Z)上是增加的,在区间 (k∈Z)上是减少的. 同理，可探知余弦函数的单调性 余弦函数u=cos α在区间[2kπ-π,2kπ](k∈Z)上是增加的,在区间 [2kπ,2kπ+π](k∈Z)上是减少的. 例7.余弦函数u=cos α,α∈的单调增区间 为______,单调减区间为________.  【解析】在单位圆中,当x由-π到 时,u=