2019-2021年上海各区一模压轴题分类汇编18题-图形的旋转

专题 图形的旋转 【历年真题】 1．（2021秋•普陀区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，AD是边BC上的高， 将△ABC绕点C旋转，点B落在线段AD上的点E处，点A落在点F处，那么cos∠FAD ＝　 　． 【考点】旋转的性质；解直角三角形；等腰三角形的性质；勾股定理．版权所有 【专题】几何综合题；推理能力． 【分析】如图，过点F作FG⊥AD于点G，由旋转可知：CE＝BC＝4，CF＝EF＝AB＝AC＝5，利用三角函数可得∠ECD＝60°，进而可得：DE＝，AF＝EF＝5，运用勾股定理可得AD＝，AE＝﹣，由等腰三角形性质可得AG＝EG＝，再运用三角函数可得cos∠FAD＝＝． 【解答】解：如图，过点F作FG⊥AD于点G， ∵将△ABC绕点C旋转，点B落在线段AD上的点E处，点A落在点F处， ∴CE＝BC＝4，CF＝EF＝AB＝AC＝5， ∵AB＝AC，AD是边BC上的高，∴BD＝CD＝2， ∴cos∠ECD＝，∴∠ECD＝60°， ∴DE＝CE•sin∠ECD＝4×sin60°＝， ∵∠ACF＝∠ECD＝60°，∴△ACF是等边三角形，∴AF＝EF＝5， 在Rt△ACD中，AD＝＝＝， ∴AE＝AD﹣DE＝﹣， ∵AF＝EF，FG⊥AD，∴AG＝EG＝， ∴cos∠FAD＝＝＝， 故答案为：． 【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，三角函数定义，解题关键是要熟练运用等腰三角形性质． 2．（2021秋•静安区期末）如图，正方形ABCD中，将边BC绕着点C旋转，当点B落在边 AD的垂直平分线上的点E处时，∠AEC的度数为 　45°或135°． ． 【考点】旋转的性质；线段垂直平分线的性质；正方形的性质．版权所有 【专题】矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；推理能力． 【分析】分两种情况讨论，由旋转的性质和线段垂直平分线的性质可得△BEC是等边三角形，由等腰三角形的性质可求解． 【解答】解：如图，当点E在BC的上方时，连接BE ∵MN是AD的垂直平分线，四边形ABCD是正方形，∴MN垂直平分BC，∴BE＝EC， ∵将边BC绕着点C旋转，∴BC＝CE，∴△BEC是等边三角形，∴∠EBC＝∠BEC＝60°，∴∠ABE＝30°， ∵AB＝BC＝BE，∴∠AEB＝75°， ∴∠AEC＝75°+60°＝135°； 当点E'在BC的下方时， 同理可得△BE'C是等边三角形， ∴BC＝BE'，∠BE'C＝60°＝∠CBE'，∴∠ABE'＝150°， ∵AB＝BC＝BE'，∴∠AE'B＝15°，∴∠AE'C＝45°， 故答案为：45°或135°． 【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等边三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 3．（2021秋•杨浦区期末）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，将△ABC 绕点A逆时针旋转90°后得△ADE，点B落在点D处，点C落在点E处，联结BE、CD，作∠CAD的平分线AN，交线段BE于点M，交线段CD于点N，那么的值为 　 　． 【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形；旋转的性质．版权所有 【专题】三角形；等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【分析】先根据题目条件作出图象，由∠C＝90°和tanA＝，设BC＝5k，AC＝12k，然后由旋转的性质得到AE＝AC＝12k，ED＝BC＝5k，AB＝AD＝13k，以点C为原点、BC和AC所在直线分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系，则A（0，12k），B（﹣5k，0），E（12k，12k），D（12k，7k），过点N作NF⊥AC于点F，交BE于点P，NH⊥AD于点H，得到NF＝NH，得到，然后由高相等的两个三角形的面积之比为底边长之比得到的值，进而用含有k的式子表示点N的坐标，再求得直线BE的解析式，然后求得点P的坐标得到NP的长，最后通过△MAE∽△MNP得到的值，即可得到的值． 【解答】方法一：解：由∠C＝90°和tanA＝可设BC＝5k，AC＝12k，∴AB＝13k， 由旋转得，AE＝AC＝12k，ED＝BC＝5k，AB＝AD＝13k， 如图，以点C为原点，BC和AC所在直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，则A（0，12k），B（﹣5k，0）， ∵旋转角为90°，∴E（12k，12k），D（12k，7k）， 过点N作NF⊥AC于点F，交BE于点P，作NH⊥AD于点H， ∵AN平分∠CAD，∴NF＝NH，∴， 又∵△ANC在边CN上的高和△AND在边DN上的高相等，∴， ∴点N的坐标为（，）， 设直线BE的解析式为y＝mx+n，则 ，解得：， ∴直线BE的解析式为y＝x+， 当y＝时，x+＝， 解得：x＝﹣，∴P