2019-2021年上海各区一模压轴题分类汇编18题-定义新图形及其他题型

专题 定义新图形及其他题型 【历年真题】 1．（2021秋•浦东新区期末）如图，a∥b∥c，直线a与直线b之间的距离为，直线c 与直线b之间的距离为2，等边△ABC的三个顶点分别在直线a、直线b、直线c上，则 等边三角形的边长是 　 　． 【考点】相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质．版权所有 【专题】图形的相似；模型思想． 【分析】过点A作AD⊥直线b于D，将△ABD绕点A逆时针旋转60°得到△ACE，作EG⊥直线c于G交直线a于F．想办法求出AE，EC即可解决问题． 【解答】解：如图，过点A作AD⊥直线b于D，将△ABD绕点A逆时针旋转60°得到△ACE，作EG⊥直线c于G交直线a于F． 则有∠AEC＝∠ADB＝∠AFE＝∠EGC＝90°，AE＝AD＝，∠EAF＝∠CEG＝30°， ∴EF＝AE＝， ∴EG＝，CG＝EG＝，CE＝2CG＝5， ∴AC＝． ∴等边△ABC的边长为2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理的运用，直角三角形的性质的运用，相似三角形的性质的运用，解答时构造相似三角形是关键． 2．（2021秋•宝山区期末）如果一条抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么 以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“特征三角形”．已知y＝x2+bx（b＞0）的“特征三角形”是等腰直角三角形，那么b的值为 　 2 　． 【考点】抛物线与x轴的交点；等腰直角三角形；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．版权所有 【专题】二次函数图象及其性质；应用意识． 【分析】根据抛物线的“特征三角形”是等腰直角三角形建立方程求解即可． 【解答】解：设抛物线y＝x2+bx与x轴的交点坐标为A，B，顶点为D， ∴A（0，0），B（﹣b，0），D（﹣，﹣）， ∵抛物线y＝x2+bx对应的“特征三角形”是等腰直角三角形， ∴AB2＝AD2+BD2＝2AD2，∴b2＝2（+）， 解得：b＝±2， ∵b＞0，∴b＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点和抛物线的“特征三角形”的特点，关键是利用“特征三角形”是等腰直角三角形建立等量关系． 3．（2021秋•青浦区期末）如图，一次函数y＝ax+b（a＜0，b＞0）的图象与x轴，y轴分 别相交于点A，点B，将它绕点O逆时针旋转90°后，与x轴相交于点C，我们将图象过点A，B，C的二次函数叫做与这个一次函数关联的二次函数．如果一次函数y＝﹣kx+k（k＞0）的关联二次函数是y＝mx2+2mx+c（m≠0），那么这个一次函数的解析式为 　y＝﹣3x+3 　． 【考点】抛物线与x轴的交点；坐标与图形变化﹣旋转；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式．版权所有 【专题】一次函数及其应用；二次函数图象及其性质；平移、旋转与对称；推理能力． 【分析】先由直线y＝﹣kx+k求得点A和点B的坐标，然后求得点C的坐标，最后将点A、B、C的坐标分别代入函数y＝mx2+2mx+c中求得m、k、c的值，即可得到一次函数的解析式． 【解答】解：对y＝﹣kx+k，当x＝0时，y＝k，当y＝0时，x＝1， ∴A（1，0），B（0，k），∴C（﹣k，0）， 将A、B、C的坐标代入y＝mx2+2mx+c得， ，解得：或或， ∵m≠0，k＞0，∴m＝﹣1，k＝3，c＝3， ∴一次函数的解析式为y＝﹣3x+3， 故答案为：y＝﹣3x+3． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的解析式、旋转的特征，解题的关键是会求点B经过逆时针旋转90°后的点的坐标． 4. （2021秋•青浦区期末）若抛物线y1=ax2+b1x+c1的顶点为A，抛物线y2=ax2+b2x+c2的顶点为B，且满足顶点A在抛物线y2上，顶点B在抛物线y1上，则称抛物线y1与抛物线y2互为“关联抛物线”已知顶点为M的抛物线y=(x-2)2+3与顶点为N的抛物线互为“关 联抛物线”，直线MN与x轴正半轴交于点D，如果，那么顶点为N的抛物线的表达式为　 　． 【考点】待定系数法求二次函数解析式．版权所有 【专题】二次函数图象及其性质；；推理能力． 【分析】设顶点为N的抛物线顶点坐标N为（a，b），由题意可知，即可求得D点坐标为（6，0），则有直线MD解析式为，因为N点过直线MD，N点也过抛物线y=(x-2)2+3，故有，解得，故N点坐标为（，），可设顶点为N的抛物线的表达式为，又因为M点过，即可解得a=-1，故顶点为N的抛物线的表达式为． 【解答】设顶点为N的抛物线顶点坐标N为（a，b） 已知抛物线y=(x-2)2+3的顶点坐标M为（2，3） ∵ ∴ 即解得 ∵