2019-2021年上海各区一模压轴题分类汇编18题-图形的翻折

专题 图形的翻折 【历年真题】 1． （2021秋•长宁区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝3，点D、E分别 在AC边和AB边上，沿着直线DE翻折△ADE，点A落在BC边上，记为点F，如果CF＝1，则BE＝　 　． 【考点】翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形．版权所有 【专题】平移、旋转与对称；几何直观． 【分析】过F作FG⊥AB于点G．先求出AB＝3，BF＝3﹣1＝2．则FG＝GB＝BF＝，所以AG＝AB﹣BG＝3﹣＝2，设AE＝x，则EF＝x，EG＝2﹣x，在Rt△EGF中，EG2+FG2＝EF2，利用勾股定理解列出（2﹣x）2+（）2＝x2，解得x＝，即求出BE． 【解答】解：过F作FG⊥AB于点G． ∵∠C＝90°，AC＝BC＝3，CF＝1， ∴AB＝3，BF＝3﹣1＝2．∴FG＝GB＝BF＝， ∴AG＝AB﹣BG＝3﹣＝2， 设AE＝x，则EF＝x，EG＝2﹣x， 在Rt△EGF中，EG2+FG2＝EF2， 即（2﹣x）2+（）2＝x2， 解得x＝，∴BE＝AB﹣AE＝3﹣＝． 故答案为：． 【点评】本题考查翻折变换，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练运用勾股定理，属于中考常考题型． 2．（2021秋•虹口区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝15，sin∠A＝．点D、E分别 在AB和AC边上，AD＝2DB，把△ADE沿着直线DE翻折得△DEF，如果射线EF⊥BC， 那么AE＝　 　． 【考点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；等腰三角形的性质．版权所有 【专题】推理填空题；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力． 【分析】先根据折叠得到DE平分∠AEF，根据角平分线过D作∠AEF两边垂线即可． 【解答】过D作DM⊥AC于M，过B作BH⊥AC于H ∵AB＝AC＝15，，AD＝2DB ∴AD＝10，DM＝8，AM=6，BH=12，AH=9， ∴CH＝AC-CH=6 ∴ 过D作DG⊥EF交EF于N，交AC于G ∵把△ADE沿着直线DE翻折得△DEF ∴DE平分∠AEF， ∴DM＝DN＝8，EM＝EN， ∵EF⊥BC于点G，∴DH∥BC， ∴，∠C＝∠NHE，∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为： 【点评】本题难度比较大，综合考查折叠的性质、三角函数、相似三角形的性质与判定，解 题的关键是由折叠得到角平分线再根据角平分线作垂线． 3．（2021秋•金山区期末）在△ABC中，AB＝AC＝10，sinB＝，E是BC上一点，把△ ABE沿直线AE翻折后，点B落在点P处，如果PE∥AC，那么BE＝　 2 　． 【考点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；平行线的性质；等腰三角形的判定与性质．版权【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用；几何直观；应用意识． 【分析】过A作AD⊥BC于D，设AP交BC于F，根据AB＝AC＝10，sinB＝，AD⊥BC，可得AD＝8，BD＝CD＝6，BC＝12，由△ABE沿直线AE翻折后，点B落在点P处，即得∠P＝∠B＝∠C，∠BAE＝∠PAE，而PE∥AC，有∠P＝∠FAC，可证得∠AEC＝∠EAC，CE＝AC＝10，即得BE＝BC﹣CE＝2． 【解答】解：过A作AD⊥BC于D，设AP交BC于F，如图： ∵AB＝AC＝10，sinB＝，AD⊥BC，∴， ∴AD＝8，∴BD＝CD＝6，∴BC＝12， ∵△ABE沿直线AE翻折后，点B落在点P处， ∴∠P＝∠B＝∠C，∠BAE＝∠PAE， ∵PE∥AC，∴∠P＝∠FAC，∴∠B＝∠FAC， ∴∠B+∠BAE＝∠FAC+∠PAE，即∠AEC＝∠EAC， ∴CE＝AC＝10， ∴BE＝BC﹣CE＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查等腰三角形中的折叠问题，解题的关键是掌握折叠的性质，能熟练运用锐角三角函数解直角三角形． 4．（2021秋•闵行区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P是AC 边上一点，将△ACB沿着过点P的一条直线翻折，使得点A落在边AB上的点Q处，联结 PQ，如果∠CQB＝APQ，那么AQ的长为 　 　． 【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形；勾股定理；翻折变换（折叠问题）．版权所有 【专题】几何综合题；压轴题；推理填空题；运算能力；推理能力． 【分析】利用三角形内角和180°，以及平角180度，推导出PQ平分∠AQC，设CP＝x，则AP＝PQ＝8﹣x，利用三角形等面积法和相似三角形性质求出AQ的长，再利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题． 【解答】解：根据题意如图所示： 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∵AC＝8，BC＝6，∴AB＝10， 根据折叠的性质可知∠A＝∠PQA