精品解析：北京市昌平区2023届高三上学期期末质量检测数学试题

昌平区2022~2023学年第一学期高三年级期末质量抽测 数学试卷 2023.1 本试卷共6页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回. 第一部分（选择题共40分） 一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，则集合（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，且满足，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 下列函数中，是奇函数且在定义域内是减函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 若，，则一定有（ ） A. B. C. D. 5. 已知二项式的展开式中的系数是10，则实数（ ） A. B. 1 C. D. 2 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，则“角与角的终边关于轴对称”是“”的（ ） A 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 图1：在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能的向左或向右落下，最后落入底部的格子中.在图2中，将小球放入容器中从顶部下落，则小球落入D区的路线数有（ ） A. 16 B. 18 C. 20 D. 22 9. 设抛物线的焦点为，准线为.斜率为的直线经过焦点，交抛物线于点，交准线于点（在轴的两侧）.若，则抛物线的方程为（ ） A. B. C. D. 10. 已知向量满足，则的最大值是（ ） A B. C. D. 第二部分（非选择题共110分） 二､填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 已知数列中，，则数列的通项公式为__________. 12. 已知双曲线的焦点为，点在双曲线上，则该双曲线的渐近线方程为__________；若，则__________. 13. 在中，，则__________，__________. 14. 若直线与圆有公共点，则的最小值为__________. 15. 已知正三棱锥的六条棱长均为是底面的中心，用一个平行于底面的平面截三棱锥，分别交于点（不与顶点，重合）. 给出下列四个结论： ①三棱锥为正三棱锥； ②三棱锥的高为； ③三棱锥的体积既有最大值，又有最小值； ④当时，. 其中所有正确结论的序号是__________. 三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知函数，再从条件①､条件②､条件③中选择一个作为已知， （1）求的解析式； （2）当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 条件①：函数的图象经过点； 条件②：函数的图象可由函数的图象平移得到； 条件③：函数图象相邻的两个对称中心之间的距离为. 注：如果选择条件①､条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分. 17. 不粘锅是家庭常用的厨房用具，近期，某市消费者权益保护委员会从市场上购买了12款不粘锅商品，并委托第三方检测机构进行检测.本次选取了食物接触材料安全项目中与消费者使用密切相关的6项性能项目进行比较试验，性能检测项目包含不粘性､耐磨性､耐碱性､手柄温度､温度均匀性和使用体验等6个指标.其中消费者关注最多的两个指标“不沾性､耐磨性”检测结果的数据如下： 检测结果 序号 品牌名称 不粘性 耐磨性 1 品牌1 Ⅰ级 Ⅰ级 2 品牌2 Ⅱ级 Ⅰ级 3 品牌3 Ⅰ级 Ⅰ级 4 品牌4 Ⅱ级 Ⅱ级 5 品牌5 Ⅰ级 Ⅰ级 6 品牌6 Ⅱ级 Ⅰ级 7 品牌7 Ⅰ级 Ⅰ级 8 品牌8 Ⅰ级 Ⅰ级 9 品牌9 Ⅱ级 Ⅱ级 10 品牌10 Ⅱ级 Ⅱ级 11 品牌11 Ⅱ级 Ⅱ级 12 品牌12 Ⅱ级 Ⅱ级 （Ⅰ级代表性能优秀，Ⅱ级代表性能较好） （1）从这12个品牌的样本数据中随机选取两个品牌的数据，求这两个品牌的“不粘性”性能都是Ⅰ级的概率； （2）从前六个品牌中随机选取两个品牌的数据，设为性能都是Ⅰ级的品牌个数，求随机变量的分布列和数学期望； （3）从后六个品牌中随机选取两个品牌的数据，设为性能都是Ⅰ级的品牌个数，比较随机变量和随机变量的数学期望的大小（结论不要求证明）. 18. 如图，在多面体中，侧面为矩形，平面，平面. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求直线到平面的距离. 19. 已知椭圆过点，且离心