精品解析：北京市房山区2023届高三上学期诊断性评价数学试题

房山区2022—2023学年度第一学期诊断性评价 高三数学 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，，则（ ） A B. C. D. 2. 若复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知数列满足，且，则数列的前四项和的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则（ ） A. 图象关于原点对称，且在上是增函数 B. 图象关于原点对称，且在上是减函数 C. 图象关于轴对称，且在上是增函数 D. 图象关于轴对称，且在上是减函数 5. 若角、是锐角三角形的两个内角，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 设平面与平面相交于直线，直线在平面内，直线在平面内，且.则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 若抛物线（）上一点到抛物线的准线和对称轴的距离分别为5和3，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 1或9 D. 2或9 8. 已知半径为1动圆经过坐标原点，则圆心到直线的距离的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 某教学软件在刚发布时有100名教师用户，发布5天后有1000名教师用户.如果教师用户人数与天数之间满足关系式：，其中为常数，是刚发布时的教师用户人数，则教师用户超过20000名至少经过的天数为（ ）（参考数据：） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 10. 在中，，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 函数的定义域是______. 12. 的展开式中常数项是______.（用数字作答） 13. 若双曲线的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为______. 14. 若函数存在最小值，则的一个取值为______；的最大值为______. 15. 函数的图象可以近似表示某音叉的声音图象.给出下列四个结论： ①是函数一个周期； ②的图象关于直线对称； ③的图象关于点对称； ④在上单调递增. 其中所有正确结论的序号是______. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 在中，边上一点，，，，. （1）求的长； （2）求的面积. 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，平面，为棱的中点. （1）求证：平面； （2）再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知， 求：直线与平面所成角的正弦值，以及点到平面的距离. 条件①：； 条件②：平面； 条件③：. 18. 为弘扬中华优秀传统文化，营造良好的文化氛围，增强文化自觉和文化自信，某区组织开展了中华优秀传统文化知识竞答活动，该活动有单人赛和PK赛，每人只能参加其中的一项.据统计，中小学生参与该项知识竞答活动的人数共计4.8万，其中获奖学生情况统计如下： 奖项 组别 单人赛 PK赛获奖 一等奖 二等奖 三等奖 中学组 40 40 120 100 小学组 32 58 210 100 （1）从获奖学生中随机抽取1人，若已知抽到的学生获得一等奖，求抽到的学生来自中学组的概率； （2）从中学组和小学组获奖者中各随机抽取1人，以表示这2人中PK赛获奖的人数，求的分布列和数学期望； （3）从获奖学生中随机抽取3人，设这3人中来自中学组的人数为，来自小学组的人数为，试判断与的大小关系.（结论不要求证明） 19 已知函数（）. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间； （3）若函数恰有一个零点，则的取值范围为______.（只需写出结论） 20. 已知椭圆：经过点，且点到两个焦点的距离之和为8. （1）求椭圆的方程； （2）直线：与椭圆分别相交于两点，直线，分别与轴交于点，.试问是否存在直线，使得线段的垂直平分线经过点，如果存在，写出一条满足条件的直线的方程，并证明；如果不存在，请说明理由. 21. 若对，，当时，都有，则称数列受集合制约. （1）若，判断是否受制约，是否受区间制约； （2）若，受集合制约，求数列的通项公式； （3）若记：“受区间制约”，：“受集合制约”，判断是否是的充分条件，是否是的必要条件，并证明你的结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 房山区2022—2023学年度第一学期诊断性评价 高三数学 第一部分（选择题 共40分