专题06 导数的应用-2023年高考数学尖子生强基计划校考讲义及强基真题解析

专题06 导数的应用 1、 真题特点分析： 1.【2022年中科大3】已知， （1）求满足什么条件恒成立。 （2）若存在,使得则满足什么条件。 答案：，q=0 解析：（1）令 故即. （2） 的区间只有两段. 故当.即，则有四重根，即 经过对比系数，可知. 故当.即，则有两个不同根。于是只能一个是三重根，是一重根。即 综上所述，. 2【2021年清华4】恰有一个实数使得成立，则实数的取值范围为（ ）． A． B． C． D． 答案：B 解析： 当x=0不是方程解 方程可以变形为， 令， 如图所示，实数的取值范围为 3.【2020年清华17．】已知函数，则的最大值与最小值的和是（ ）． A．2 B． C．3 D．4 答案:A 解析：考虑为奇函数，因而的最大值与最小值的和为0，可得的最大值与最小值的和为2 二、知识要点拓展 一．导数的定义：设函数在点的某个邻域内有定义，若极限（*）存在，则称函数在点可导，并称其极限值为函数在的导数，记作。 若令，则（*）式可改写为 。 二．导数的几何意义： 函数在点的导数是曲线在点处切线的斜率。若表示这个切线与轴正向的夹角，则。 三．基本求导法则： ①； ②，（为常数）； ③； ④反函数导数 ； ⑤复合函数导数 。 四．基本初等函数导数公式 ①（为常数）； ②（为任何实数）； ③，， ，， ，； ④， ； ⑤； ⑥。 五.原函数：设是定义在区间上的函数，若存在函数，对任意都有，则称是的一个原函数。 一个函数若存在原函数，它必定有无穷多个原函数，若是的一个原函数，则表示的全体原函数. 六．不定积分：设是的一个原函数，则称的全体原函数为的不定积分。记为，即。 七.不定积分的性质： ①； ②， ③， ④。 八．常见积分公式 ， ， ， ， ， ， ， ， 。 九．函数的单调性：若函数在内可导，则在内递增（递减）的充要条件是（），。 三、典例精讲 类型一：导数的定义 例1．已知在处可导，且，求下列极限： （1）； （2） 分析：在导数定义中，增量的形式是多种多样，但不论选择哪种形式，也必须选择相对应的形式。利用函数在处可导的条件，可以将已给定的极限式恒等变形转化为导数定义的结构形式。 解答：（1） （2） 练习1：若函数在区间内可导，且则 的值为（ ） A． B． C． D． 答案：B 解答： 练习2：（2000上海交大）已知在处可导，则 。 答案： 解答：由导数定义知 。 类型二：基本初等函数的导数 例2．求函数的导数。 解答： 练习3.,若,则的值等于（ ） A． B． C． D． 答案：D 解答： 例3．函数的导数为_________________； 解答： 例4．求函数的导数。 解答： 。 例5．观察，，，是否可判断，可导的奇函数的导函数是偶函数，可导的偶函数的导函数是奇函数。 解答：若为偶函数 令 ∴ 可导的偶函数的导函数是奇函数 另证： 类型三：导数证明不等式 例6．求证下列不等式 （1） （相减） （2） （相除） （3） 证明：（1） ∴ 为上 ∴ 恒成立 ∴ ∴ 在上 ∴ 恒成立 （2）原式 令 ∴ ∴ ∴ （3）令 ∴ ∴ 例7．已知函数，， （1）证明：当时，恒有 （2）当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围; 解答：（1）设，则= ， 当时，，所以函数在（0，单调递增，又 在处连续，所以，即， 所以。 （2）设， 则在（0，恒大于0，， ， 的根为0和 即在区间（0，上，的根为0和 若，则在单调递减， 且，与在（0， 恒大于0矛盾； 若，在（0，单调递增， 且，满足题设条件，所以，所以。 类型四：利用导数求和 例8．利用导数求和： （1）； （2）。 分析：这两个问题可分别通过错位相减法及利用二项式定理来解决。转换思维角度，由求导公式，可联想到它们是另外一个和式的导数，利用导数运算可使问