专题5.2 平行线四大模型与动态角度问题 专题讲练-2022-2023学年七年级数学下册重难题型全归纳及技巧提升专项精练（人教版）

专题5.2 平行线四大模型与动态角度问题 专题讲练 平行线基本模型与动态角度问题在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，该份资料就平行线的四大模型（铅笔模型、猪蹄模型、拐弯模型、“5”字模型）和动态模型（翻折、旋转）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 重要模型 模型1：猪蹄模型（M型） 【解题技巧】如图，①已知：AB∥CD，结论：∠APC=∠A+∠C； ②已知：∠APC=∠A+∠C，结论：AB∥CD. 图①、图② 图③ ③已知：AB∥CD，结论：∠A+∠P2+∠C=∠P1+∠P3. 例1、（2022.广东省初一月考）如图所示，已知：AB∥CD，求证：∠APC=∠A+∠C； 【解析】方法一（破角）:过点P作PQ∥AB， ∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PQ∴∠1=∠2，∠3=∠4∴∠APC=∠2+∠3=∠1+∠4. 方法二（添角）: 连接AC， ∵AB∥CD ∴∠1+∠3+∠2+∠4=180°，又∠2+∠3+∠APC=180° ∴∠APC=∠1+∠4. 变式1.（2022·山东青岛期末）如图，，点在上，，，则下列结论正确的个数是（ ） （1）；（2）；（3）；（4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B. 【解析】解：过点E作EF∥AB， （1）无法判断； （2）∵AB//CD，AB//EF，∴EF//CD，∴∠AEF=70°，∠DEF=15°，∴∠AED=85°，正确； （3）由（2）得：∠A=∠CEF=∠CED+∠DEF，∠DEF=∠D∴∠A=∠CED+∠D，正确； （4）无法判断；故答案为：B． 变式2.（2022·渝中区期末）如图，，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D. 【解析】解：过点E作EF∥AB，可得：AB∥EF∥CD ∴∠AEF+∠A=180°，∠FEC=∠C，∴∠A+∠AEC－∠C=180° ∴120°+∠AEC－40°=180°，即∠AEC=100°，故答案为：D． 例2．（2022·山东·德州七年级期中）请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题． 小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型“猪蹄模型”．即 已知：如图1，，E为AB、CD之间一点，连接AE，CE得到． 求证： 小明笔记上写出的证明过程如下: 证明：过点E作 ∵ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题． (1)如图，若，，求； (2)如图，， BE平分， CF平分，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）作，，如图，根据平行线的性质得，所以，，，然后利用等量代换计算； （2）分别过G、H作AB的平行线MN和RS，根据平行线的性质和角平分线的性质可用和分别表示出和，从而可找到和的关系，结合条件可求得． 【详解】（1）作，，如图，且 ∴∴，， ∴， ∵，∴； （2）如图，分别过G、H作AB的平行线MN和RS， ∵平分，平分， ∴，， ∵∴ ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，∴，∴． 【点睛】本题考查平行线的性质和判定的应用，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然． 变式3.（2022·山西八年级期末）综合与探究 问题情境：综合实践课上，王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动． （1）如图1，，点分别为直线上的一点，点为平行线间一点且，求度数； 问题迁移：（2）如图2，射线与射线交于点，直线，直线分别交于点，直线分别交于点，点在射线上运动．①当点在（不与重合）两点之间运动时，设．则之间有何数量关系？②若点不在线段上运动时（点与点三点都不重合），请你直接写出间的数量关系． 【答案】（1）110°；（2）①∠CPD=α+β； ②当P在BA延长线时，∠CPD=β－α；；当P在OB之间时，∠CPD=α－β. 【解析】解：（1）过P作PG∥EF，则PG∥EF∥MN，∴∠PAF+∠GPA=180°，∠PBN+∠GPB=180° ∴∠GPA=180°－130°=50°，∠GPB=180°－∠PBN=60°∴∠APB=∠GPA +∠GPB=50°+60°=110°. （2）①∠CPD=∠α+∠β. ②当P在BA延长线时，∠CPD=β－α.过P作PE∥AD交AD于E， ∵AD∥BC，∴∠DPE=α，∠CPE=β ∴∠CPD=β－α. 当P在OB之间时，∠CPD=α－β 过P作PE∥AD交CD