27.2.3 相似三角形的周长与面积（课件）-九年级数学下册同步辅导微课（人教版）

相似三角形的周长与面积 相似 主讲：黄继彬 1.相似图形的相似比: (1)相似图形对应边之比,叫做相似图形的相似比. (2)全等三角形的相似比等于1. (3)连接三角形各边中点所得的三角形与原来的三角形的相似 比是 (4)△ABC与△DEF的相似比是k, 反之,△DEF与△ABC的相似比 是 2.相似三角形对应线段(包括对应边、对应高、对应中 线、对应角平分线、对应中位线,等) 的比都等于相似比. (1)相似三角形对应高的比等于相似比. D F E N C B A M ∴∠B=∠E ∴△ABM∽△DEN ∵△ABC∽△DEF 又∵∠AMB=∠ANE=90° 理由:设△ABC与△DEF的相似比是k, AM和DN分别是它们的高. (2)相似三角形对应中线的比等于相似比. D F E N C B A M ∴∠B=∠E, ∴△ABM∽△DEN ∵△ABC∽△DEF 理由:设△ABC与△DEF的相似比是k, AM和DN分别是它们的中线. ∵AM和DN分别是它们的中线 (3)相似三角形对应角平分线的比等于相似比. ∴∠B=∠E,∠ BAC=∠ EDF, ∴△ABM∽△DEN ∵△ABC∽△DEF 理由:设△ABC与△DEF的相似比是k, AM和DN分别是它们的角平分线. ∵AM和DN分别是它们的角平分线 D F E N C B A M ( ( 1 2 注意:类似地,可以证明相似三角形其它对应线段之比都等于相 似比. 3.相似三角形周长之比等于相似比. 理由:设△ABC与△DEF的相似比是k,则 ∴C△ABC=AB+BC+AC =k·DE+k·EF+k·DF =k·(DE+EF+DF) =k·C△DEF D F E C B A 4.相似三角形面积之比等于相似比的平方. D F E N C B A M 理由:设△ABC与△DEF的相似比是k, AM和DN分别是它们的高,则 注意:类似地,可以证明相似多边形对应线段的比等于相似比,周 长之比等于相似比,面积的比等于相似比的平方. 例1.一个三角形的各边长扩大为原来的5倍,这个三角形的周长和 面积分别也扩大为原来的多少倍? 解:一个三角形各边扩大为原来5倍,则相似比为 ,从而 即C后三角形=5C原三角形, S后三角形=25S原三角形 答:这个三角形的周长扩大为原来的5倍,面积扩大为原来的25倍. 例2.如图,在△ABC和△DEF中,AB=2DE,AC=2DF,∠A=∠D,△ABC的 周长是16cm,面积是12cm2,求△DEF的周长和面积． 解:在△ABC和△DEF中, ∵AB=2DE,AC=2DF 又∵∠D=∠A ∴△DEF∽△ABC,相似比为 A B C D E F 答:△DEF的周长为8cm,面积为3cm2. 例3.如图,△ABC∽△DEF,它们的周长分别为60cm和72cm,且AB =15cm,EF=24cm,求BC、AC、DE、DF的长． 解:∵△ABC∽△DEF A B C D E F 15cm 24cm 例4.已知:如图,在△ABC中,D、F是AB的三等分点,DE∥FG∥BC. 求:S△ADE:S梯形DFGE:S梯形FBCG. A D E F G B C 解: ∵DE∥FG∥BC ∴△ADE∽△AFG∽△ABC ∵D、F是AB的三等分点 ∴AD:AF:AB=1:2:3 ∴S△ADE:S△AFG:S△ABC=AD2:AF2:AB2=12:22:32=1:4:9 设S△ADE=x,则S△AFG=4x ,S△ABC=9x,从而 S梯形DFGE=4x-x=3x, S梯形FBCG=9x-4x=5x ∴S△ADE:S梯形DFGE:S梯形FBCG=x:3x:5x=1:3:5 例5.在△ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,点P、Q分别在AC、BC上,PQ∥AB 当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时,求PQ的长. 解:(1)∵S△PQC=S四边形PABQ A B C P Q ∴S△PQC:S△ABC=1:2 ∵PQ∥AB　 ∴△PQC∽△ABC ∴S△PQC:S△ABC= 　 例6.如图,△ABC是一块锐角三角形余料,边BC=120毫米,高AD=80 毫米,要把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC上,其 余两个顶点分别在AB、AC上,这个正方形零件的边长是多少? N M Q P E D C B A 解:设正方形PQMN是符合要求的正方形,且△ABC的高AD与PN相交 于点E.设正方形PQMN的边长为x毫米,则PN=DE=x毫米,且AE= (80-x)毫