专题10.1 等差数列与等比数列-备战2023年高考数学真题+基础知识+题型方法+高考必刷（新高考专用）

专题10 数列 1.等差数列与等比数列 【高考真题】 1．（2020·全国I卷文数）设是等比数列，且，，则（       ） A．12 B．24 C．30 D．32 【答案】D 【详解】设等比数列的公比为，则， ， 因此，. 故选：D. 2．（2020·全国II卷文数）记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则=（       ） A．2n–1 B．2–21–n C．2–2n–1 D．21–n–1 【答案】B 【详解】设等比数列的公比为，由 可得：， 所以，因此. 故选：B. 3．（2020·全国II卷理数）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ） A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块 【答案】C 【详解】设第n环天石心块数为，第一层共有n环， 则是以9为首项，9为公差的等差数列，， 设为的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分 别为，因为下层比中层多729块， 所以， 即 即，解得，所以. 故选：C 4．（2019·全国I卷理数）记为等差数列的前n项和．已知，则 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题知，，解得，∴，故选A． 5．（2019·全国III卷文/理数）已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则 A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】C 【详解】设正数的等比数列{an}的公比为，则，解得，，故选C． 6．（2017·全国I卷理数）记为等差数列的前项和．若，，则的公差为 A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【详解】设公差为，，，联立解得，故选C. 7．（2017·全国II卷理数）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏 【答案】B 【详解】设塔顶的a1盏灯，由题意{an}是公比为2的等比数列， ∴S7==381，解得a1=3．故选B． 8．（2017·全国III卷理数）等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前6项的和为（       ） A．－24 B．－3 C．3 D．8 【答案】A 【详解】根据题意得，即，解得d＝0(舍去)，d， 所以数列{an}的前6项和为. 故选：A 9．（2019·全国I卷文数）记Sn为等比数列{an}的前n项和.若，则S4=___________． 【答案】. 【详解】设等比数列的公比为，由已知 ，即，解得， 所以． 10．（2019·全国I卷理数）记Sn为等比数列{an}的前n项和．若，则S5=____________． 【答案】. 【详解】设等比数列的公比为，由已知，所以又， 所以所以． 11．（2019·全国III卷文数）记为等差数列的前项和，若，则___________. 【答案】100 【详解】得 12．（2019·全国III卷理数）记Sn为等差数列{an}的前n项和，，则___________. 【答案】4. 【详解】因，所以，即，所以． 13．（2018·全国I卷理数）记为数列的前项和，若，则_____________． 【答案】 【详解】根据，可得， 两式相减得，即， 当时，，解得， 所以数列是以-1为首项，以2为公比的等比数列， 所以，故答案是. 14．（2017·全国II卷理数）等差数列的前项和为，，，则____________． 【答案】 【详解】设等差数列的首项为，公差为，由题意有 ，解得 ， 数列的前n项和， 裂项可得， 所以． 15．（2017·全国III卷理数）设等比数列满足a1 + a2 = –1, a1 – a3 = –3，则a4 = ___________． 【答案】-8 【详解】设等比数列的公比为，很明显，结合等比数列的通项公式和题意可得方程组： ，由可得：，代入①可得， 由等比数列的通项公式可得. 16．（2022·全国I卷）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且． (1)证明：； (2)求集合中元素个数． 【答案】(1)证明见解析；(2)． 【分析】（1）设数列的公差为，根据题意列出方程组即可证出；