2.3.3 点到直线的距离公式 课件-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.3.3 点到直线的距离公式 高二—人教A版—数学—选择性必修第一册—第二章 一、学习目标 1.了解点到直线的距离公式的推导方法; 2.掌握点到直线的距离公式并会应用; 3. 通过点到直线的距离公式的探索和推导过程,培养运用等价转化、数形结合等数学方法解决问题的能力,以及数学抽象、逻辑推理、直观想象和数学运算的数学学科素养. 二、点到直线的距离公式——引入 试一试: 点P(-1,2)到直线x=2的距离是_. 点P(-1,2)到直线y=1的距离是_. y=1 y 0 x=2 x P(-1,2) Q(2,2) M(-1,1) 点P到直线l的距离,就是P到直线l的垂线段PQ的长度,其中Q为垂足. 二、点到直线的距离公式——引入 试一试: y 0 2x+y-10=0 x P(-1,2) (3)点P(-1,2)到直线2x+y -10=0的距离是_. 思 考: 1、本题能快速看出垂线段的长度吗? 2、是否能像求两点距离一样,有点到线的距离公式呢? 三、点到直线的距离公式——探究 探究: 如图,已知点P (x0, y0 ) ,直线l :Ax+By+C=0,如何求点P 到直线l的距离呢? l 点P到直线l的距离,即垂线段长度|PQ| 问: 怎么求PQ的长度呢? 通过两点间距离公式 问: 点Q坐标怎么求? 通过联立两直线方程求交点Q 求直线PQ方程 三、点到直线的距离公式——推导 l 问:求直线方程,需要几个条件? 2个条件,两点或者一点一斜(斜率或倾斜角). ☞ 直线PQ 过点P (x0, y0 ) ,且与直线l垂直. (2)当A、B中有一个为0时,如A=0,B≠0 时,直线l : By+C=0 , 此时PQ方程为x= x0 .当B=0,A≠0时,PQ方程为y= y0 . 综上所述PQ方程为: Bx- Ay = B x0 -A y0 (x0, y0 ) 三、点到直线的距离公式——推导 l PQ:Bx- Ay = B x0 -A y0 三、点到直线的距离公式 点P(x0 ,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离为: 公式结构特征: 1、分子:将点坐标代入直线方程中,外套绝对值; 三、点到直线的距离公式 点P0(x0 ,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离为: 思考:上述方法中,我们根据点到直线距离的定义,将点到直线的距离化为两点之间的距离,思路自然但运算量大.你能想到其它方法吗? 探究:我们知道,向量是解决距离、角度问题的有力工具,能否用向量方法求点到直线的距离? M(x, y) 思考:比较上述两种方法,第一种方法从定义出发,把问题转化为求两点间的距离,通过代数运算得到结果,思路自然;第二种方法利用向量投影, 通过向量运算求出结果,简化了运算. 除了上述两种方法,你还有其他推导方法吗? x y O S R l Q P0 构造三角形,利用等面积法求高,即点到直线的距离d. 只需求出点S、R坐标. x y P0 (x0,y0) O S R Q d 勾股定理 等面积法 五、典型例题 解:(1)根据点到直线的距离公式,得 例题1 求点P(-1,2)到下列直线的距离. 五、典型例题 y 0 x=2/3 x P(-1,2) Q(2/3,2) 例题1 求点P(-1,2)到下列直线的距离. 点P0(x0 ,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离为: 特别注意:运用公式时,需要将直线写为一般式! 五、典型例题 五、典型例题 注:将直线方程化为一般式! 解: (2)先将直线方程化为一般式3x -2=0,再根据点到直线的距离公式: 例题1 求点P(-1,2)到下列直线的距离. 五、典型例题 y 0 x=2/3 x P(-1,2) Q(2/3,2) 解: (2)法1:直线方程化为一般式3x -2=0,再根据点到直线的距离公式: 公式法适用范围广 适合直线与轴平行或重合时 例题1 求点P(-1,2)到下列直线的距离. x y C O -1 1 2 2 3 3 1 B A 例2 已知点A(1, 3), B(3, 1), C(-1, 0),求∆ABC的面积. 五、典型例题 两点间距离公式求底。 点到直线距离公式求高。 直线化为一般式。 x y C O -1 1 2 2 3 3 1 B A 例2 已知点A(1, 3), B(3, 1), C(-1, 0),求∆ABC的面积. 六、发散思维 思考:同学们还有其它方法吗? x y C O -1 1 2 2 3 3 1 B A 例2 已知点A(1, 3), B(3, 1), C(-1, 0),求∆ABC的面积. 六、发散思维 D 思考:想想还有其它方法求三角形面积吗? 七、总结 1.本节课,我们学习了点到直线的距离公式,它是解析几何中非常重要的一个公式. 推导公式中完整介绍了两种方法:第一种方法是坐标法,将点到直线距离转