专题9.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量的基本定理-备战2023年高考数学真题+基础知识+题型方法+高考必刷（新高考专用）

专题09 平面向量 1.平面向量的概念及线性运算、平面向量的基本定理 【高考真题】 1．（2022·全国I卷）在在中，点D在边AB上，．记，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出． 【详解】因为点D在边AB上，，所以，即， 所以． 故选：B． 2．（2019·全国II卷文数）已知向量，则（      ） A． B．2 C．5 D．50 【答案】A 【详解】由已知，，所以，故选A. 3．（2018·全国I卷文/理数）在△中，为边上的中线，为的中点，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据向量的运算法则，可得 ， 所以，故选A. 4．（2019·全国II卷文/理数）已知向量满足，，则（       ） A．4 B．3 C．2 D．0 【答案】B 【详解】因为所以选B. 5．（2017·全国III卷理数）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若= +，则+的最大值为（       ） A．3 B．2 C． D．2 【答案】A 【详解】如图所示，建立平面直角坐标系. 设, 易得圆的半径，即圆C的方程是， ，若满足， 则 ，，所以， 设，即，点在圆上， 所以圆心到直线的距离，即，解得， 所以的最大值是3，即的最大值是3，故选A. 6．（2021·全国I卷）已知为坐标原点，点，，，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】A：，，所以，，故，正确； B：，，所以，同理，故不一定相等，错误； C：由题意得：，，正确； D：由题意得：， ，故一般来说故错误； 故选：AC 7．（2018·全国III卷文/理数）已知向量，，．若，则________. 【答案】 【详解】由题可得， ，,即, 故答案为 【基础知识】 1．向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模． (2)零向量：长度为0的向量，记作0. (3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量． (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任意向量平行． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 2．向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律：a＋b＝b＋a；结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求两个向量差的运算 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λ a|＝|λ||a|， 当λ>0时，λa与a的方向相同； 当λ<0时，λa与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0 λ(μ a)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 3.向量共线定理 向量b与非零向量a共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使得b＝λa. ★★★平行向量有关概念的四个关注点 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关． (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆． (4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量． 4．平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2， 使a＝λ1e1＋λ2e2. 若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 5．平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解． 6．平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)， a－b＝(x1－x2，y1－y2)， λa＝(λx1，λy1)， |a|＝. (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝. 7．平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0. 【题型方法】 一、利用图像关系进行向量加减、数乘运算 1．已知的对角线和相交于点O，且为线段中点，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，故选：B 2．如图，四边形ABCD是平行四边形，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，， 所以. 故选：D. 3．已知为的重心，为的中