专题9.2 平面向量的数量积及其应用-备战2023年高考数学真题+基础知识+题型方法+高考必刷（新高考专用）

专题09 平面向量 2.平面向量的数量积及其应用 【高考真题】 1．（2022·全国II卷）已知向量，若，则（    ） A． B． C．5 D．6 【答案】C 【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得 【详解】解：,,即,解得, 故选：C 2．（2020·全国II卷文数）已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由已知可得：. A：因为，所以本选项不符合题意； B：因为，所以本选项不符合题意； C：因为，所以本选项不符合题意； D：因为，所以本选项符合题意. 故选：D. 3．（2020·全国III卷文数）在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若，则点C的轨迹为（       ） A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线 【答案】A 【详解】设，以AB中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系， 则：，设，可得：， 从而：， 结合题意可得：，整理可得：， 即点C的轨迹是以AB中点为圆心，为半径的圆. 故选：A. 4．（2020·全国III卷理数）已知向量 ，满足， ，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，，. ，因此，. 故选：D. 5．（2019·全国I卷文/理数）已知非零向量满足，且，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以=0，所以，所以=， 所以与的夹角为，故选B． 6．（2019·全国II卷理数）已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=（ ） A．-3 B．-2 C．2 D．3 【答案】C 【详解】由，，得，则，．故选C． 7．（2018·全国II卷文/理数）已知向量满足，，则（ ） A．4 B．3 C．2 D．0 【答案】B 【详解】因为所以选B. 【点睛】向量加减乘： 8．（2017·全国II卷文数）设非零向量，满足，则（ ） A．⊥ B． C．∥ D． 【答案】A 【详解】由平方得，即，则，故选A. 9．（2017·全国II卷理数）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是　　 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】建立如图所示的坐标系，以中点为坐标原点，则，，， 设，则，，， 则 当，时，取得最小值， 故选：． 10．（2017·全国III卷理数）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若= +，则+的最大值为（ ） A．3 B．2 C． D．2 【答案】A 【详解】如图所示，建立平面直角坐标系. 设, 易得圆的半径，即圆C的方程是， ，若满足， 则 ，，所以， 设，即，点在圆上， 所以圆心到直线的距离，即，解得， 所以的最大值是3，即的最大值是3，故选A. 11．（2021·全国I卷）已知为坐标原点，点，，，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】A：，，所以，，故，正确； B：，，所以，同理，故不一定相等，错误； C：由题意得：，，正确； D：由题意得：， ，故一般来说故错误； 故选：AC 12．（2021·全国II卷）已知向量，，，_______． 【答案】 【详解】由已知可得， 因此，. 故答案为：. 13．（2020·全国I卷文数）设向量，若，则______________. 【答案】5 【详解】由可得，又因为， 所以，即，故答案为：5. 14．（2020·全国I卷理数）设为单位向量，且，则______________. 【答案】 【详解】因为为单位向量，所以 所以，解得： 所以 故答案为： 15．（2020·全国II卷理数）已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k=__________. 【答案】 【详解】由题意可得：，由向量垂直的充分必要条件可得：， 即：，解得：. 故答案为：． 16．（2019·全国III卷文数）已知向量，则___________. 【答案】 【详解】． 17．（2019·全国III卷理数）已知为单位向量，且=0，若 ，则___________. 【答案】. 【详解】因为，，所以， ，所以， 所以 ． 18．（2017·全国I卷文数）已知向量=（﹣1，2）， =（m，1），若，则m=_________． 【答案】7 【详解】由题得，因为，所以，解得． 19．（2017·全国I卷理数）已知向量与的夹角为60°，||=2，||=1，则| +2 |= ______ . 【答案】 【详解】∵平面向量与的夹角为， ∴. ∴ 故答案为. 20．（2017·全国III卷文数）已知向量，且，则_______. 【