专题8.2 解三角形中的求范围问题-备战2023年高考数学真题+基础知识+题型方法+高考必刷（新高考专用）

专题08 解三角形 2.求范围问题 【高考真题】 1．（2022·全国I卷）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求B； (2)求的最小值． 【答案】(1)；(2)． 【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将化成，再结合，即可求出； （2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式将化成，然后利用基本不等式即可解出． 【详解】（1）因为，即， 而，所以； （2）由（1）知，，所以， 而， 所以，即有，所以 所以 ． 当且仅当时取等号，所以的最小值为． 2．（2020·全国II卷理数）中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC． （1）求A； （2）若BC=3，求周长的最大值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）利用正弦定理角化边，配凑出的形式，进而求得； （2）方法一：利用余弦定理可得到，利用基本不等式可求得的最大值，进而得到结果. 【详解】（1）由正弦定理可得：， ， ，. （2）[方法一]【最优解】：余弦+不等式 由余弦定理得：， 即. （当且仅当时取等号）， ， 解得：（当且仅当时取等号）， 周长，周长的最大值为. [方法二]：正弦化角（通性通法） 设，则，根据正弦定理可知，所以，当且仅当，即时，等号成立．此时周长的最大值为． [方法三]：余弦与三角换元结合 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．由余弦定理得，即．令，得，易知当时，， 所以周长的最大值为． 3．（2019·全国III卷文/理数）的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【答案】(1) ;(2). 【分析】 (1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B的三角方程，最后根据A,B,C均为三角形内角解得.(2)根据三角形面积公式，又根据正弦定理和得到关于的函数，由于是锐角三角形，所以利用三个内角都小于来计算的定义域，最后求解的值域. 【详解】(1)根据题意，由正弦定理得，因为，故，消去得． ，因为故或者，而根据题意，故不成立，所以，又因为，代入得，所以. (2)因为是锐角三角形，由（1）知，得到， 故，解得. 又应用正弦定理，， 由三角形面积公式有： . 又因,故， 故. 故的取值范围是 【点睛】 这道题考查了三角函数的基础知识，和正弦定理或者余弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查是锐角三角形这个条件的利用．考查的很全面，是一道很好的考题. 【基础知识】 高考中考查求解三角形的范围问题时： 方法一：求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值. 方法二：采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围进行求解最值，如果三角形是锐角三角形或有限制条件的，则采用此法解决. 方法三：巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦函数求最值问题. 【题型方法】 一、利用基本不等式求范围问题 1．已知中，，若，则周长的最大值为__________. 【详解】由正弦定理可得：， ∴， ∵， ∴. 由余弦定理得：， 即. ∵（当且仅当时取等号）， ∴， 解得：（当且仅当时取等号）， ∴周长， ∴周长的最大值为. 故答案为： 2．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，． (1)求A； (2)若，求△ABC面积的最大值． 【详解】(1)． 由正定理可得sinA， 因为，所以，又，∴； (2)∵， ∴由余弦定理，可得 ∴，得． ∴， 即△ABC面积的最大值为． 3．在中，角的对边分别为，且． (1)求角C的大小； (2)若，求的周长的取值范围． 【详解】(1)由正弦定理及， 得， ∵sin A≠0，∴， ∴， ∴． 又， (2)由，及余弦定理， 得， 当且仅当时取等号， ∴，当且仅当时取等号， 又， ， 故三角形ABC的周长的取值范围为． 二、利用三角函数值域求范围 1．设△的角，，的对边分别为，，，满足． (1)求B的大小； (2)当B为锐角且时，求△周长的取值范围． 【详解】(1)由正弦定理得：，且， 所以，又，故或； (2)由（1）及题设知：且，由正弦定理， 所以，． 所以， ， 由，则，故， 所以，则三角形周长． 2．已知分别为三个内角的对边，. (1)求； (2)若 ，求的最大值. 【详解】(1) ， ， 即， 即， 得， 即， ， ，又，所以． (2)因为，， 由正弦定理 其中，由于，所以当时， 3．在中，角所对的边分别为，满足 (1)求角； (2)若，求的取值范围. 【详解】(1)因为，所以， 化简得，所以， 因为，所以； (2)由正弦定理得， 所以，同理， 由，故， . 由，所以，所以， 所以的取值范围是. 【高考必刷】 1．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，且满足关系式，则