专题8.1 解三角形中的边角互化-备战2023年高考数学真题+基础知识+题型方法+高考必刷（新高考专用）

专题08 解三角形 1.边角互化 【高考真题】 1．（2020·全国III卷文数）在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则tanB=（       ） A． B．2 C．4 D．8 【答案】C 【详解】设 故选：C 2．（2020·全国III卷理数）在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在中，，， 根据余弦定理： 可得 ，即 由 故. 故选：A. 3．（2019·全国I卷文数）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，cosA=－，则= A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【详解】由已知及正弦定理可得，由余弦定理推论可得 ，故选A． 4．（2018·全国II卷文/理数）在中，,BC=1,AC=5，则AB= A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为 所以，选A. 5．（2018·全国III卷文/理数）的内角的对边分别为，，，若的面积为，则 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可知 所以 由余弦定理 所以 故选C. 6．（2020·全国I卷理数）如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=______________. 【答案】 【详解】，，， 由勾股定理得， 同理得，， 在中，，，， 由余弦定理得， ， 在中，，，， 由余弦定理得. 故答案为：. 7．（2019·全国II卷文数）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinA+acosB=0，则B=___________. 【答案】. 【详解】由正弦定理，得．， 得，即，故选D． 8．（2019·全国II卷理数）的内角的对边分别为.若，则的面积为__________. 【答案】 【详解】由余弦定理得， 所以， 即 解得（舍去） 所以， 9．（2018·全国I卷文数）△的内角的对边分别为，已知，，则△的面积为________． 【答案】. 【详解】因为， 结合正弦定理可得， 可得，因为， 结合余弦定理，可得， 所以为锐角，且，从而求得， 所以的面积为，故答案是. 10．（2021·全国I卷）记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，. （1）证明：； （2）若，求. 【详解】（1）设的外接圆半径为R，由正弦定理， 得， 因为，所以，即． 又因为，所以． （2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理 因为，如图，在中，，① 在中，．② 由①②得，整理得． 又因为，所以，解得或， 当时，（舍去）． 当时，． 所以． [方法二]：等面积法和三角形相似 如图，已知，则， 即， 而，即， 故有，从而． 由，即，即，即， 故，即， 又，所以， 则． [方法三]：正弦定理、余弦定理相结合 由（1）知，再由得． 在中，由正弦定理得． 又，所以，化简得． 在中，由正弦定理知，又由，所以． 在中，由余弦定理，得． 故． [方法四]：构造辅助线利用相似的性质 如图，作，交于点E，则． 由，得． 在中，． 在中． 因为， 所以， 整理得． 又因为，所以， 即或． 下同解法1． [方法五]：平面向量基本定理 因为，所以． 以向量为基底，有． 所以， 即， 又因为，所以．③ 由余弦定理得， 所以④ 联立③④，得． 所以或． 下同解法1． [方法六]：建系求解 以D为坐标原点，所在直线为x轴，过点D垂直于的直线为y轴， 长为单位长度建立直角坐标系， 如图所示，则． 由（1）知，，所以点B在以D为圆心，3为半径的圆上运动． 设，则．⑤ 由知，， 即．⑥ 联立⑤⑥解得或（舍去），， 代入⑥式得， 由余弦定理得． 【整体点评】 (2)方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题； 方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路； 方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路； 方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择； 方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起； 方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化. 11．（2021·全国II卷）在中，角、、所对的边长分别为、、，，． （1）若，求的面积； （2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【详解】（1）因为，则，则，故，， ，所以，为锐角，则， 因此，； （2）显然，若为钝角三角形，则