6.2.4 向量的数量积-2022-2023学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019必修第二册）

6.2.4　向量的数量积 【考点梳理】 考点一　两向量的夹角与垂直 1.夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角(如图所示).当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向. 2.垂直：如果a与b的夹角是，则称a与b垂直，记作a⊥b. 考点二　向量数量积的定义 非零向量a，b的夹角为θ，数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，规定：零向量与任一向量的数量积等于0. 考点三　投影向量 在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量. 设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为＝|a|cos θ e. 考点四　平面向量数量积的性质 设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量.则 (1)a·e＝e·a＝|a|·cos θ. (2)a⊥b⇔a·b＝0. (3)当a∥b时，a·b＝ 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝. (4)|a·b|≤|a||b|. 考点五　平面向量数量积的运算律 1.a·b＝b·a(交换律). 2.(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律). 3.(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律). 【题型归纳】 题型一：向量的数量积的定义和几何意义 1．（2022秋·山西太原·高一统考期中）给出以下结论，其中正确结论的个数是（    ） ①    ②    ③    ④ A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2022·全国·高一假期作业）已知，，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 3．（2022·高一单元测试）己知为的外接圆圆心，若，则向量在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 题型二：数量积的运算 4．（2022秋·广西·高一校考期中）已知平面向量，满足，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2022·全国·高一假期作业）如图，在中，点D在边上，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2022·高一课时练习）已知平行四边形ABCD满足，，，，，（    ） A．6 B．10 C．14 D． 题型三：数量积和模关系问题 7．（2022秋·山东淄博·高一统考期末）已知，．若，则（    ） A． B． C．2 D．4 8．（2022秋·内蒙古呼伦贝尔·高一校考期末）已知向量，满足，，则向量，的夹角为（    ） A． B． C． D． 9．（2022秋·湖北咸宁·高一统考期末）已知向量满足，且，则 （    ） A．6 B．8 C．36 D．64 题型四：向量夹角的计算 10．（2021秋·山东聊城·高一山东聊城一中校考期中）已知是与向量方向相同的单位向量，向量在向量上的投影向量为，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 11．（2022秋·吉林长春·高一长春市实验中学校考期末）已知，是单位向量，若，则，的夹角是（    ） A． B． C． D． 12．（2022秋·重庆沙坪坝·高一重庆市第七中学校校考期末）平面上不共线的向量，，，其夹角两两相等，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 题型五：垂直关系的向量表示 13．（2022秋·河南开封·高一统考期末）已知单位向量，的夹角为60°，若，则（    ） A．－2 B． C． D．2 14．（2022秋·陕西商洛·高一统考期末）已知向量满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 15．（2022秋·江苏宿迁·高一沭阳县修远中学期中）设平面向量、满足，，，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 题型六：已知模求参数问题 16．（2022秋·全国·高一期末）已知，点在线段上，且的最小值为，则（）的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 17．（2021秋·江苏·高一校联考期中）设非零向量的夹角为，若，且不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 18．（2019春·浙江金华·高一统考期末）已知向量满足，，若与的夹角为，则m的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 题型七：向量的数量积综合问题 19．（2022秋·广东江门·高一台山市华侨中学校考期中）已知平面向量，，，，且与的夹角为． (1)求 (2)若与垂直，求k的值． 20．（2022春·广东阳江·高一阳江市第一中学校考期中）已知向量满足，且. (1)求； (2)记向量与向量的夹角为，求. 21．（2022秋·浙江宁波·高一校考期末）已知向量，若， (1)求与的夹角θ； (2)求； (