专题强化一：概率题型归纳（9大题型）-2023-2024学年高一数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019必修第二册）

专题强化一：概率题型归纳 【考点题型】 考点一：随机事件 考点二：生活中的概率 考点三：事件的关系和运算 考点四：互斥事件和对立事件辨析 考点五：互斥事件和对立事件概率问题 考点六：古典概型 考点七：整式值随机数 考点八：几何概型 考点九：概率综合问题 【题型归纳】 题型一：随机事件 1．（21-22高一下·陕西渭南·期末）下列事件中，是随机事件的是（ ） ①经过有交通信号灯的路口，刚好是红灯； ②投掷2颗质地均匀的骰子，点数之和为14； ③抛掷一枚质地均匀的硬币，字朝上； ④13个人中至少有2个人的生日在同一个月. A．①③ B．③④ C．①④ D．②③ 2．（20-21高一下·天津河东·期末）下列事件中，随机事件的个数是（ ） ①未来某年8月18日，北京市不下雨； ②在标准大气压下，水在4℃时结冰； ③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰好取到1号签； ④任取，则. A．1 B．2 C．3 D．4 3．（20-21高一下·陕西宝鸡·期末）下面的事件： ①袋中有2个红球，4个白球，从中任取3个球，至少取到1个白球； ②某人买彩票中奖； ③非零实系数一次方程必有一实根； ④明天会下雨． 其中是必然事件的有（ ） A．① B．④ C．① ③ D．① ④ 题型二：生活中的概率 4．（22-23高一下·新疆喀什·期末）下列说法正确的是（ ） A．随着试验次数的增大，随机事件发生的频率会逐渐稳定于该随机事件发生的概率 B．某种福利彩票的中奖概率为，买1000张这种彩票一定能中奖 C．连续100次掷一枚硬币，结果出现了49次反面，则掷一枚硬币出现反面的概率为 D．某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是：该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，30%认为明天不会降水 5．（2021·全国·模拟预测）根据历年气象统计资料，某市在七月份的某一天吹南风的概率为25%，下雨的概率为35%，吹南风或下雨的概率为38%，则既吹南风又下雨的概率为（ ） A．22% B．13% C．24% D．28% 6．（22-23高一下·福建·期末）某小区为了调查本小区业主对物业服务满意度的真实情况，对本小区业主进行了调查，调查中问了两个问题1：你的手机尾号是不是奇数？问题2：你是否满意物业的服务？调查者设计了一个随机化装置，其中装有大小、形状和质量完全相同的白球和红球，每个被调查者随机从装置中摸到红球和白球的可能性相同，其中摸到白球的业主回答第一个问题，摸到红球的业主回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做，由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题别人并不知道，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案.已知某小区80名业主参加了问卷，且有48名业主回答了“是”，由此估计本小区对物业满意服务的百分比大约为（ ） A．10% B．20% C．35% D．70% 题型三：事件的关系和运算 7．（22-23高一下·福建福州·期末）已知，，如果，那么（ ） A．0.18 B．0.42 C．0.6 D．0.7 8．（22-23高一下·陕西宝鸡·期末）端午节是我国传统节日，记事件“甲端午节来宝鸡旅游”， 记事件“乙端午节来宝鸡旅游”，且，，假定两人的行动相互之间没有影响，则（ ） A． B． C． D． 9．（21-22高一下·河南安阳·期末）从一批产品中逐个不放回地随机抽取三件产品，设事件A为“三件产品全不是次品”，事件B为“三件产品全是次品”，事件C为“三件产品不全是次品”，事件D为“第一件是次品”则下列结论正确的是（ ） A．B与D相互独立 B．B与C相互对立 C． D． 题型四：互斥事件和对立事件辨析 10．（22-23高一下·广东阳江·期末）从装有2件正品和2件次品的盒子内任取2件产品，下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是（ ） A．“至少有1件正品”与“都是次品” B．“恰好有1件正品”与“恰好有1件次品” C．“至少有1件次品”与“至少有1件正品” D．“都是正品”与“都是次品” 11．（22-23高一下·广西河池·期末）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件1表示“骰子向上的点数为素数”，事件2表示“骰子向上的点数为合数”，事件3表示“骰子向上的点数大于2”，事件4表示“骰子向上的点数小于3”，则（ ） A．事件1与事件3互斥 B．事件1与事件2互为对立事件 C．事件2与事件3互斥 D．事件3与事件4互为对立事件 12．（22-23高一下·黑龙江哈尔滨·期末）抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，观察向上一面的点数，则下列是互斥事件但不是对立事件的是（ ） A．“大于3点”与“不大于3点” B．“大于3点”与“小于2点” C．“大于3点”与“小于4点” D．“大于3点”与“小于5点” 题型五：互斥事件和对立事件概率问题 13．（22-23高一下·安徽合肥·期末）为了普及党史知识，某校举行了党史知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲、乙两人同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为.则甲、乙两人共答对至少3道题的概率是（ ） A． B． C． D． 14．（22-23高一下·河南洛阳·期末）从A班随机抽一名学生是女生的概率是，从B班随机抽一名学生是女生的概率是，现从两个班各随机抽一名学生，那么两名学生不全是女生的概率是（ ） A． B． C． D． 15．（22-23高一下·福建福州·期末）某高中的“篮球”“无人机”“戏剧”三个社团考核挑选新社员，已知高一某新生对这三个社团都很感兴趣，决定三个考核都参加，假设他通过“篮球”“无人机”“戏剧”三个社团考核的概率依次为m，，n，且他通过每个社团考核与否是相互独立的，若三个社团考核他都能通过的概率为，至少通过一个社团考核的概率为，则（ ） A． B． C． D． 题型六：古典概型 16．（22-23高一下·湖南岳阳·期末）“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是.一个大于2的偶数都可以写成两个素数（质数）之和，也就是我们所谓的“”问题.他是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中都取得了相当好的成绩.若将16拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为（ ） A． B． C． D． 17．（22-23高一下·安徽滁州·期末）“冰墩墩”“雪容融”分别是2022年北京冬奥会和冬残奥会的吉祥物，它们形象活泼可爱，分别代表着创造非凡、探索未来、点亮梦想、温暖世界，体现了运动员的拼搏精神.现从分别印有“冰墩墩”“雪容融”“福娃贝贝”“福娃晶晶”“福娃欢欢”“福娃迎迎”“福娃妮妮”的这7个图案的卡片（卡片的形状、大小、质地均相同）中随机选取3张，则“冰墩墩”和“雪容融”卡片都在内的概率为（ ） A． B． C． D． 18．（22-23高一下·浙江宁波·期末）从2023年6月开始，浙江省高考数学使用新高考全国数学I卷，与之前浙江高考数学卷相比最大的变化是出现了多选题.多选题规定：在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对且没有选错的得2分.若某题多选题正确答案是BCD，某同学不会做该题的情况下打算随机选1个到3个选项作为答案，每种答案都等可能（例如，选A，AB，ABC是等可能的），则该题得2分的概率是（ ） A． B． C． D． 题型七：整式值随机数 19．（22-23高一下·安徽宣城·期末）盒子中有四张卡片，分别写有“笔墨纸砚”四个字，有放回地从中任取一张卡片，直到“纸”“砚"两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次取到卡片后停止的概率．利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，分别用1，2，3，4代表“笔墨纸砚”这四个字，以每三个随机数为一组，表示三次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数： 343 432 314 134 234 132 243 331 112 324 342 241 244 342 124 431 233 214 344 434 由此可以估计，恰好第三次结束时就停止的概率为（ ） A． B． C． D． 20．（22-23高一下·福建福州·期末）采取随机模拟的方法估计气步枪学员击中目标的概率，先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中，以三个随机数为一组，代表三次射击击中的结果，经随机数模拟产生了20组随机数： 107 956 181 935 271 832 612 458 329 683 331 257 393 027 556 498 730 113 537 989 根据以上数据估计，该学员三次射击恰好击中1次的概率为（ ） A． B． C． D． 21．（22-23高一下·重庆·期末）据统计某班三个同学投篮，每一位投进的概率均为0.4，用数字表示投进，数字表示投不进，由计算机产生如下20组随机数: 977，864，191，925，271，932，812，458，569，683， 431，257，394，027，556，488，730，113，537，908. 由此估计三位同学中恰有一位投进的概率为（ ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 题型八：几何概型 22．（20-21高一下·陕西汉中·期末）在区间随机取1个数，则取到的数小于的概率为（ ） A．0.5 B．0.75 C．0.25 D．0.125 23．（20-21高一下·陕西安康·期末）公元前5世纪下半叶开奥斯的希波克拉底解决了与“化圆为方”有关的化月牙为方问题．如图，为等腰直角三角形，，以为圆心、为半径作大圆，以为直径作小圆，则在整个图形中随机取一点，此点取自阴影部分的概率为（ ） A． B． C． D． 24．（20-21高一下·广东茂名·期末）七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ） A． B． C． D． 题型九：概率综合问题 25．（23-24高一下·辽宁·期末）某学校为了解本校历史､物理方向学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从物理方向的学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲，从历史方向的学生中随机抽取人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图： 已知乙样本中数据在的有10个. (1)求和乙样本直方图中的值； (2)试估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的中位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）. (3)采用分层抽样的方法从甲样本数据中分数在和的学生中抽取6人，并从这6人中任取2人，求这两人分数都在中的概率. 26．（23-24高一上·安徽·期末）与国家安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视.为了普及国家安全教育，某校组织了一次国家安全知识竞赛，已知甲、乙、丙三位同学答对某道题目的概率分别为，，，且三人答题互不影响. (1)求甲、乙两位同学恰有一个人答对的概率； (2)若甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对的概率为，求的值. 27．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）某商店开业促销，推出“掷骰子赢礼金券”活动，规则为：将两枚质地均匀的骰子同时投掷一次，根据点数情形赢得一等奖、二等奖、三等奖．记事件为“两枚骰子点数相同”，事件为“两枚骰子点数相连”，事件为“两枚骰子点数不同但都是奇数或都是偶数”． (1)以事件、、发生的概率大小为依据（概率最小为一等奖，最大为三等奖），求二等奖所对应的事件； (2)若除上述三个事件之外的点数情形均没有奖，每位参与活动的顾客有两次投掷机会，求该活动中每位顾客中奖的概率. 【专题强化】 一、单选题 28．（23-24高一下·辽宁抚顺·期中）某型号新能源汽车参加碰撞测试和续航测试，该型号新能源汽车参加这两项测试的结果相互不受影响．若该型号新能源汽车在碰撞测试中结果为优秀的概率为，在续航测试中结果为优秀的概率为，则该型号新能源汽车在这两项测试中仅有一项测试结果为优秀的概率为（ ） A． B． C． D． 29．（23-24高二下·上海·阶段练习）如果事件与事件互斥，那么（ ）条件. A． B． C．与一定互斥 D．与一定独立 30．（23-24高一上·山东威海·期末）掷红蓝两个均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件：红骰子的点数为，：红骰子的点数为，：两个骰子的点数之和为，：两个骰子的点数之和为，则（ ） A．与对立 B．与不互斥 C．与相互独立 D．与相互独立 31．（23-24高二上·广东珠海·期末）任意抛掷一次骰子，朝上面的点数记为X，则，定义事件：，，，则（ ） A． B． C． D．B，C相互独立 32．（23-24高一上·辽宁辽阳·期末）一副扑克牌（含大王、小王）共54张，A，2，3，4，5，6，7，8，9，10，J，Q，K各4张，从该副扑克牌中随机取出两张，事件“取出的牌有两张6”，事件“取出的牌至少有一张黑桃”，事件“取出的牌有一张大王”，事件“取出的牌有一张红桃6”，则（ ） A．事件A与事件互斥 B．事件与事件互斥 C．事件与事件互斥 D．事件A与事件互斥 33．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）进入8月份后，我市持续高温，气象局一般会提前发布高温橙色预警信号（高温橙色预警标准为24小时内最高气温将升至37摄氏度以上），在今后的3天中，每一天最高气温在37摄氏度以上的概率是.用计算机生成了20组随机数，结果如下： 116 785 812 730 134 452 125 689 024 169 334 217 109 361 908 284 044 147 318 027 若用0，1，2，3，4，5表示高温橙色预警，用6，7，8，9表示非高温橙色预警，则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是（ ） A． B． C． D． 34．（23-24高二上·河南信阳·期中）抛掷一枚质地均匀的骰子，记随机事件：“点数为奇数”，“点数为偶数”，“点数大于2”，“点数不大于2”，“点数为1”.则下列结论不正确的是（ ） A．E，F为对立事件 B．G，H为互斥不对立事件 C．E，G不是互斥事件 D．G，R是互斥事件 35．（22-23高一下·河北邢台·期末），，，这4个电器元件出故障的概率分别为，，，，按下图的两种连接方式，图一连通的概率为，图二连通的概率为，其中电路是否连通只与电器元件是否出故障有关，则（ ） A． B． C． D． 二、多选题 36．（23-24高一下·浙江宁波·期中）已知事件A，B满足，，则（ ） A．事件A与B可能为对立事件 B．若A与B相互独立，则 C．若A与B互斥，则 D．若A与B互斥，则 37．（23-24高一上·江西南昌·期末）下列说法正确的是（ ） A．一名篮球运动员，号称投篮“百发百中”，则他投篮一次，命中为必然事件 B．随机事件发生的可能性越大，它发生的概率越接近1 C．投掷两枚均匀的骰子，观察出现的点数和，点数和为2是一个样本点 D．试验“连续投掷一枚均匀的骰子直到出现3点停止，观察投掷的次数”的样本空间为 38．（23-24高一上·山东日照·期末）一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个小球，除标号外无差异．不放回地取两次，每次取出一个．事件“两次取出球的标号为1和4”，事件“第二次取出球的标号为4”，事件“两次取出球的标号之和为5”，则（ ） A． B． C．事件与不互斥 D．事件与相互独立 39．（23-24高一上·安徽亳州·期末）中国四大名楼是一种泛称，特指山西永济鹳雀楼、江西南昌滕王阁、湖北武汉黄鹤楼、湖南岳阳岳阳楼．记事件“只去黄鹤楼”，事件“至少去两个名楼”，事件“只去一个名楼”，事件“一个名楼也不去”，事件“至多去一个名楼”，则下列命题正确的是（ ） A．E与H是互斥事件 B．F与I是互斥事件，且是对立事件 C． D． 40．（23-24高一上·河南南阳·期末）甲乙两人约定玩一种游戏，把一枚均匀的骰子连续抛掷两次，游戏规则有如下四种，其中对甲有利的规则是（ ） A．若两次掷出的点数之和是2，3，4，5，6，10，12其中之一，则甲获胜，否则乙获胜 B．若两次掷出的点数中最大的点数大于4，则甲获胜，否则乙获胜 C．若两次掷出的点数之和是偶数，则甲获胜；若两次掷出的点数之和是奇数，则乙获胜 D．若两次掷出的点数是一奇一偶，则甲获胜；若两次掷出的点数均是奇数或者偶数﹐则乙获胜 41．（23-24高一上·辽宁大连·期末）有5个标记数字1，2，3，4，5的小球，从中有放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，则（ ） A．甲与乙互斥 B．丙与丁互斥 C．甲与丙相互独立 D．乙与丁相互独立 42．（23-24高一上·陕西汉中·期末）甲罐中有个红球、个白球，乙罐中有个红球、个白球，先从甲罐中随机取一个球放入乙罐，分别以，表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件，再从乙罐中随机取出个球，以表示从乙罐中取出的球是红球的事件，下列结论不正确的是（ ） A．事件与事件相互独立 B． C．事件与事件相互独立 D．，互斥 三、填空题 43．（23-24高一下·浙江宁波·期中）将一枚质地均匀的骰子连续抛掷次，向上的点数分别记为，则事件“”的概率为 . 44．（23-24高一上·辽宁朝阳·期末）孪生素数是指相差2的素数对，例如5和7，“孪生素数猜想”正式由希尔伯特在1900年国际数学家大会的报告上第8个问题中提出，可以这样描述：存在无穷多个素数，使得是素数，素数对称为孪生素数.在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，则这两个数为孪生素数的概率为 . 45．（23-24高一上·江西上饶·期末）据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之.”围棋，起源于中国，至今已有四千多年历史，蕴含着中华文化的丰富内涵.现从2名男生和2名女生中任选2人参加围棋比赛，则所选2人中至少有1名男生的概率为 46．（23-24高三上·广东深圳·期末）著名数学家欧几里得的《几何原本》中曾谈到：任何一个大于1的整数要么是质数，要么可以写成一系列质数的积，例如.已知，且均为质数，若从中任选2个构成两位数，且，则的十位数字与个位数字不相等的概率为 . 四、解答题 47．（23-24高一下·江西赣州·期中）小王和小刘大学毕业后到西部创业，投入万元（包括购买设备、房租、生活费等）建立起一个直播间，帮助山区人民销售农产品，帮助农民脱贫致富．在直播间里，他们利用所学知识谈天说地，跟粉丝互动，聚集了一定的人气，试播一段时间之后，正式带货．他们统计了第一周的带货数据如下： 第天 销售额（万元） (1)求销售额的平均数和方差；（保留两位有效数字） (2)若销售额满足，则称该销售额为“近均值销售额”．去掉前天的销售额，在后天的销售额中任意抽取天的销售额，求取到的销售额中仅有个“近均值销售额”的概率． 48．（23-24高一上·辽宁朝阳·期末）2023年高考查分系统上线后，某中学为了解该校高三年级学生的数学成绩，从中抽取了100名该校学生的成绩作为样本进行统计（成绩均在分），按照，，，，，，，分组，并作出频率分布直方图，如图所示： (1)求频率分布直方图中的值，并估计该中学今年高考数学成绩的中位数； (2)该校高三数学组准备用分层抽样的方法从样本中数学成绩不低于120分的学生中抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生在新高三开学动员会上发言，求这2名学生中恰有1名成绩不低于130分的概率. 49．（23-24高一上·江西南昌·期末）如图，数轴上O为原点，点A对应实数6，现从1，2，3，4，5中随机取出两个数，分别对应数轴上的点B，C（点B对应的实数小于点C对应的实数）． (1)记事件E为：线段OB的长小于等于2，写出事件E的所有样本点； (2)记事件F为：线段OB，BC，CA能围成一个三角形，求事件F发生的概率． 50．（23-24高一上·江西赣州·期末）我省从2024年开始，高考不分文理科，实行“”模式，其中“3”指的是语文、数学，外语这3门必选科目，“1”指的是考生需要在物理、历史这2门首选科目中选择1门，“2”指的是考生需要在思想政治、地理、化学、生物这4门再选科目中选择2门．已知某高校临床医学类招生选科要求是首选科目为物理，再选科目为化学、生物至少1门． (1)从所有选科组合中任意选取1个，求该选科组合符合某高校临床医学类招生选科要求的概率； (2)假设甲、乙两人每人选择任意1个选科组合是等可能的且相互独立，求这两人中恰好有一人的选科组合符合某高校临床医学类招生选科要求的概率． 51．（23-24高一上·辽宁丹东·期末）国务院于2023年开展第五次全国经济普查，为更好地推动第五次全国经济普查工作，某地充分利用信息网络开展普查宜传，向基层普查人员、广大普查对象及社会公众宣传经济普查知识.为了解宣传进展情况，现从参与调查的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄（单位：岁）分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示. (1)求这组数据的分位数（精确到0.1）： (2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人. ①再从第二组和第五组中抽取的人中任选3人进行问卷调查，求从中至少抽到2人进行问卷调查的概率； ②若第2组中参与调查的人的年龄的平均数和方差分别为30和6，第3组中参与调查的人的年龄的平均数和方差分别为40和6，据此估计这次参与调查的人中第2组和第3组所有人的年龄的方差. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题强化一：概率题型归纳 【考点题型】 考点一：随机事件 考点二：生活中的概率 考点三：事件的关系和运算 考点四：互斥事件和对立事件辨析 考点五：互斥事件和对立事件概率问题 考点六：古典概型 考点七：整式值随机数 考点八：几何概型 考点九：概率综合问题 【题型归纳】 题型一：随机事件 1．（21-22高一下·陕西渭南·期末）下列事件中，是随机事件的是（ ） ①经过有交通信号灯的路口，刚好是红灯； ②投掷2颗质地均匀的骰子，点数之和为14； ③抛掷一枚质地均匀的硬币，字朝上； ④13个人中至少有2个人的生日在同一个月. A．①③ B．③④ C．①④ D．②③ 【答案】A 【分析】由随机事件，不可能事件和必然事件的定义判断即可. 【详解】解：由题可知，①③可能发生，也可能不发生，是随机事件； 对于②，骰子最大的点数为6，2颗骰子的点数之和不可能为14，故②是不可能事件； 对于④，每年有12个月，13个人中至少有2个人的生日在同一个月，故④是必然事件. 故选：A. 2．（20-21高一下·天津河东·期末）下列事件中，随机事件的个数是（ ） ①未来某年8月18日，北京市不下雨； ②在标准大气压下，水在4℃时结冰； ③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰好取到1号签； ④任取，则. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据各项的描述，判断随机事件、必然事件、不可能事件，进而确定随机事件的个数. 【详解】①未来某年8月18日，北京市不下雨，属于随机事件； ②在标准大气压下，水在4℃时结冰，属于不可能事件； ③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签，属于随机事件； ④任取，则，属于必然事件； 所以属于随机事件的有①③，即随机事件的个数是. 故选：B 3．（20-21高一下·陕西宝鸡·期末）下面的事件： ①袋中有2个红球，4个白球，从中任取3个球，至少取到1个白球； ②某人买彩票中奖； ③非零实系数一次方程必有一实根； ④明天会下雨． 其中是必然事件的有（ ） A．① B．④ C．① ③ D．① ④ 【答案】C 【分析】根据必然事件的知识确定正确选项. 【详解】①，因为红球只有个，所以从中任取3个球，至少取到1个白球，是必然事件. ②，中奖不是必然事件. ③，非零实系数一次方程必有一实根，是必然事件. ④，明天会下雨，不是必然事件. 所以必然事件的是① ③. 故选：C 题型二：生活中的概率 4．（22-23高一下·新疆喀什·期末）下列说法正确的是（ ） A．随着试验次数的增大，随机事件发生的频率会逐渐稳定于该随机事件发生的概率 B．某种福利彩票的中奖概率为，买1000张这种彩票一定能中奖 C．连续100次掷一枚硬币，结果出现了49次反面，则掷一枚硬币出现反面的概率为 D．某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是：该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，30%认为明天不会降水 【答案】A 【分析】根据频率与概率的定义以及两者之间的关系，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A, 随着试验次数的增大，随机事件发生的频率会逐渐稳定于该随机事件发生的概率，概率是频率的稳定值，故A正确， 对于B, 某种福利彩票的中奖概率为，买1000张这种彩票不一定中奖，故B错误， 对于C, 连续100次掷一枚硬币，结果出现了49次反面，则在100此抛硬币的实验中掷一枚硬币出现反面的频率为，而掷一枚硬币出现反面的概率为，故C错误， 对于D，某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的明天会降水的可能性为70%.故D错误， 故选：A 5．（2021·全国·模拟预测）根据历年气象统计资料，某市在七月份的某一天吹南风的概率为25%，下雨的概率为35%，吹南风或下雨的概率为38%，则既吹南风又下雨的概率为（ ） A．22% B．13% C．24% D．28% 【答案】A 【分析】根据概率公式直接得出结论. 【详解】由题知，既吹南风又下雨的概率为. 故选：A. 6．（22-23高一下·福建·期末）某小区为了调查本小区业主对物业服务满意度的真实情况，对本小区业主进行了调查，调查中问了两个问题1：你的手机尾号是不是奇数？问题2：你是否满意物业的服务？调查者设计了一个随机化装置，其中装有大小、形状和质量完全相同的白球和红球，每个被调查者随机从装置中摸到红球和白球的可能性相同，其中摸到白球的业主回答第一个问题，摸到红球的业主回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做，由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题别人并不知道，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案.已知某小区80名业主参加了问卷，且有48名业主回答了“是”，由此估计本小区对物业满意服务的百分比大约为（ ） A．10% B．20% C．35% D．70% 【答案】D 【分析】 根据问卷调查的设计原则，及两个问题被抽到、手机尾号奇数、偶数的概率分别相同，结合已知估计回答第二个问题的人数及回答“是”的人数，即可得结果. 【详解】由两个问题被问的概率相等，故约有40人回答了第一个问题， 由手机尾号为奇数和偶数的概率相等，故40人中约有20人回答“是”， 根据有48名业主回答了“是”，则约有28人在第二个问题中回答“是”， 又第二个问题被问到的人数同样约为40人， 故本小区对物业满意服务的百分比大约为. 故选：D 题型三：事件的关系和运算 7．（22-23高一下·福建福州·期末）已知，，如果，那么（ ） A．0.18 B．0.42 C．0.6 D．0.7 【答案】C 【分析】结合事件的包含关系以及概率的知识求得答案. 【详解】由于，所以. 故选：C. 8．（22-23高一下·陕西宝鸡·期末）端午节是我国传统节日，记事件“甲端午节来宝鸡旅游”， 记事件“乙端午节来宝鸡旅游”，且，，假定两人的行动相互之间没有影响，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意可得、相互独立，根据计算可得. 【详解】依题意，且、相互独立， 所以. 故选：A. 9．（21-22高一下·河南安阳·期末）从一批产品中逐个不放回地随机抽取三件产品，设事件A为“三件产品全不是次品”，事件B为“三件产品全是次品”，事件C为“三件产品不全是次品”，事件D为“第一件是次品”则下列结论正确的是（ ） A．B与D相互独立 B．B与C相互对立 C． D． 【答案】B 【分析】根据互斥事件，对立事件，相互独立事件的定义逐个判断即可. 【详解】为三件产品全部是次品，指的是三件产品都是正品， 为三件全是次品， 为三件产品不全是次品，包括一件次品，两件次品，三件全是正品三个事件， 为第一件是次品，指的是最少有一件次品，包括一件次品，两件次品，三件次品三个事件. 由此可知与是互斥事件，与是包含，不是互斥，与对立 故选: B. 题型四：互斥事件和对立事件辨析 10．（22-23高一下·广东阳江·期末）从装有2件正品和2件次品的盒子内任取2件产品，下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是（ ） A．“至少有1件正品”与“都是次品” B．“恰好有1件正品”与“恰好有1件次品” C．“至少有1件次品”与“至少有1件正品” D．“都是正品”与“都是次品” 【答案】D 【分析】根据互斥事件和对立事件的定义进行判断即可. 【详解】从装有2件正品和2件次品的盒子内任取2件产品，可能的结果为：1正1次､2正､2次， 对于A：“至少有1件正品”与“都是次品”是对立事件，不符合； 对于B：“恰好有1件正品”与“恰好有1件次品”是同一个事件，不符合题意； 对于C：“至少有1件次品”包括1正1次､2次，“至少有1件正品”包括1次1正､2正，这两个事件不是互斥事件，不符合题意； 对于D：“都是正品”与“都是次品”是互斥事件而不是对立事件，符合题意； 故选：D 11．（22-23高一下·广西河池·期末）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件1表示“骰子向上的点数为素数”，事件2表示“骰子向上的点数为合数”，事件3表示“骰子向上的点数大于2”，事件4表示“骰子向上的点数小于3”，则（ ） A．事件1与事件3互斥 B．事件1与事件2互为对立事件 C．事件2与事件3互斥 D．事件3与事件4互为对立事件 【答案】D 【分析】根据互斥事件和对立事件的定义判断各个选项即可. 【详解】事件1可表示为：，事件2可表示为：， 事件3可表示为：，事件4可表示为：， 因为，所以事件1与事件3不互斥，A错误； 因为为不可能事件，不为必然事件，B错误； 因为，所以事件2与事件3不互斥，C错误； 因为为不可能事件，为必然事件，所以事件3与事件4互为对立事件，D正确. 故选:D. 12．（22-23高一下·黑龙江哈尔滨·期末）抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，观察向上一面的点数，则下列是互斥事件但不是对立事件的是（ ） A．“大于3点”与“不大于3点” B．“大于3点”与“小于2点” C．“大于3点”与“小于4点” D．“大于3点”与“小于5点” 【答案】B 【分析】根据互斥事件和对立事件的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，事件“大于3点”与事件“点数为4或点数为5或点数为6”相等， 事件“不大于3点”与事件“点数为1或点数为2或点数为3”相等， 所以事件“大于3点”与“不大于3点”不可能同时发生，且两事件的和事件为必然事件， 所以事件“大于3点”与事件“不大于3点”是互斥事件，且是对立事件，A错误； 对于B，事件“小于2点”与事件“点数为1”相等， 所以事件“大于3点”与“小于2点”不可能同时发生，但它们的和事件不是必然事件， 所以事件“大于3点”与事件“小于2点”为互斥事件，但不是对立事件；B正确； 对于C，事件“小于4点”与事件“点数为1或点数为2或点数为3”相等， 所以事件“大于3点”与“小于4点”不可能同时发生，且两事件的和事件为必然事件， 所以事件“大于3点”与事件“小于4点”是互斥事件，且是对立事件，C错误； 对于D，事件“小于5点”与事件“点数为1或点数为2或点数为3或点数为4”相等， 事件“大于3点”与“小于5点”可能同时发生， 所以事件“大于3点”与事件“小于5点”不是互斥事件，D错误； 故选：B. 题型五：互斥事件和对立事件概率问题 13．（22-23高一下·安徽合肥·期末）为了普及党史知识，某校举行了党史知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲、乙两人同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为.则甲、乙两人共答对至少3道题的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 利用相互独立事件、互斥事件概率公式求出，再利用利用相互独立事件、互斥事件求解作答. 【详解】依题意，，而，解得，， 设“甲同学答对了i题”，“乙同学答对了i题”，（）， 则，，，， 甲、乙两人共答对至少3道题的事件， 因此， 所以甲、乙两人共答对至少3道题的概率是． 故选：C 【点睛】 关键点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，相互独立事件的积是解题的关键. 14．（22-23高一下·河南洛阳·期末）从A班随机抽一名学生是女生的概率是，从B班随机抽一名学生是女生的概率是，现从两个班各随机抽一名学生，那么两名学生不全是女生的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分从A班选一名女生从B班选一名男生，从A班选一名男生从B班选一名女生和从A班选一名男生从B班选一名男生求解. 【详解】解：从A班选一名女生从B班选一名男生的概率为：； 从A班选一名男生从B班选一名女生的概率为：； 从A班选一名男生从B班选一名男生的概率为：， 所以两名学生不全是女生的概率是， 故选：A 15．（22-23高一下·福建福州·期末）某高中的“篮球”“无人机”“戏剧”三个社团考核挑选新社员，已知高一某新生对这三个社团都很感兴趣，决定三个考核都参加，假设他通过“篮球”“无人机”“戏剧”三个社团考核的概率依次为m，，n，且他通过每个社团考核与否是相互独立的，若三个社团考核他都能通过的概率为，至少通过一个社团考核的概率为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据独立事件概率公式，列式求解. 【详解】由题意可知， ，得， 即，解得：. 故选：D 题型六：古典概型 16．（22-23高一下·湖南岳阳·期末）“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是.一个大于2的偶数都可以写成两个素数（质数）之和，也就是我们所谓的“”问题.他是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中都取得了相当好的成绩.若将16拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】列举法求出所有拆解情况，利用古典概型公式即可求得答案. 【详解】16可以拆成 共有15种情况, 其中拆成的和式中加数全部为质数的有：共有4种情况. 所以拆成的和式中，加数全部为质数的概率为. 故选：C. 17．（22-23高一下·安徽滁州·期末）“冰墩墩”“雪容融”分别是2022年北京冬奥会和冬残奥会的吉祥物，它们形象活泼可爱，分别代表着创造非凡、探索未来、点亮梦想、温暖世界，体现了运动员的拼搏精神.现从分别印有“冰墩墩”“雪容融”“福娃贝贝”“福娃晶晶”“福娃欢欢”“福娃迎迎”“福娃妮妮”的这7个图案的卡片（卡片的形状、大小、质地均相同）中随机选取3张，则“冰墩墩”和“雪容融”卡片都在内的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出从个图案的卡片中随机选取张的基本事件总数，再求出“冰墩墩”和“雪容融”卡片都在内包含的基本事件个数，然后利用古典概型的概率公式求解即可 【详解】现从分别印有“冰墩墩”“雪容融”“福娃贝贝”“福娃晶晶”“福娃欢欢”“福娃迎迎”“福娃妮妮”的这个图案的卡片卡片的形状、大小，质地均相同中随机选取张，基本事件总数， “冰墩墩”和“雪容融”卡片都在内包含的基本事件个数， 则“冰墩墩”和“雪容融”卡片都在内的概率为． 故选：C 18．（22-23高一下·浙江宁波·期末）从2023年6月开始，浙江省高考数学使用新高考全国数学I卷，与之前浙江高考数学卷相比最大的变化是出现了多选题.多选题规定：在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对且没有选错的得2分.若某题多选题正确答案是BCD，某同学不会做该题的情况下打算随机选1个到3个选项作为答案，每种答案都等可能（例如，选A，AB，ABC是等可能的），则该题得2分的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用组合数求得随机地填涂了1个或2个或3个选项，每种可能性都是相同的，然后列举计数能得2分的涂法种数，求得所求概率． 【详解】随机地填涂了1个或2个或3个选项，有A，B，C，D，AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD共有14种涂法， 得2分的涂法为BC，BD，CD，B，C，D，共6种， 故能得2分的概率为． 故选：B． 题型七：整式值随机数 19．（22-23高一下·安徽宣城·期末）盒子中有四张卡片，分别写有“笔墨纸砚”四个字，有放回地从中任取一张卡片，直到“纸”“砚"两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次取到卡片后停止的概率．利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，分别用1，2，3，4代表“笔墨纸砚”这四个字，以每三个随机数为一组，表示三次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数： 343 432 314 134 234 132 243 331 112 324 342 241 244 342 124 431 233 214 344 434 由此可以估计，恰好第三次结束时就停止的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 找出恰好第三次结束时就停止的随机数的个数，利用古典概型公式求解概率． 【详解】随机模拟产生了20组随机数，其中恰好第三次结束时就停止的随机数有：314，134，234，243，324，共5个， 由此可以估计，恰好第三次结束时就停止的概率为． 故选：C． 20．（22-23高一下·福建福州·期末）采取随机模拟的方法估计气步枪学员击中目标的概率，先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中，以三个随机数为一组，代表三次射击击中的结果，经随机数模拟产生了20组随机数： 107 956 181 935 271 832 612 458 329 683 331 257 393 027 556 498 730 113 537 989 根据以上数据估计，该学员三次射击恰好击中1次的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据古典概型的概率公式计算可得. 【详解】依题意这20组随机数中恰好击中一次的有107，935，458，683，257，027，498，730，537共组， 所以所求概率. 故选：D 21．（22-23高一下·重庆·期末）据统计某班三个同学投篮，每一位投进的概率均为0.4，用数字表示投进，数字表示投不进，由计算机产生如下20组随机数: 977，864，191，925，271，932，812，458，569，683， 431，257，394，027，556，488，730，113，537，908. 由此估计三位同学中恰有一位投进的概率为（ ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 【答案】B 【分析】由题意找出20组随机数中表示三位同学中恰有一位投进的数据，计算所求的概率值. 【详解】由题意知，20组随机数中表示三位同学中恰有一位投进的数据为：925，683，257，394，537，908共6个， 由此估计三位同学中恰有一位投进的概率为. 故选：B． 题型八：几何概型 22．（20-21高一下·陕西汉中·期末）在区间随机取1个数，则取到的数小于的概率为（ ） A．0.5 B．0.75 C．0.25 D．0.125 【答案】B 【分析】根据几何概型，所求概率等于区间的长度与区间的长度的比值. 【详解】在区间随机取1个数，则取到的小于的数在区间内，区间长度为，又区间长度为2, 所求概率为. 故选：B. 23．（20-21高一下·陕西安康·期末）公元前5世纪下半叶开奥斯的希波克拉底解决了与“化圆为方”有关的化月牙为方问题．如图，为等腰直角三角形，，以为圆心、为半径作大圆，以为直径作小圆，则在整个图形中随机取一点，此点取自阴影部分的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用圆的面积求出整个图形的面积，再求出图中阴影部分的面积，根据几何概型的概率公式即可求得答案. 【详解】设，则，大圆的面积， 以为直径的小圆的面积为， 大圆中弓形的面积为， 整个图形的面积为， 阴影部分的面积为， 在整个图形中随机取一点，此点取自阴影部分的概率为, 故选：A 24．（20-21高一下·广东茂名·期末）七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设正方形的边长为，计算出阴影部分区域的面积和正方形区域的面积，然后利用几何概型的概率公式计算出所求事件的概率. 【详解】设大正方形的边长为，则面积为，阴影部分由一个大等腰直角三角形和一个梯形组成． 大等腰直角三角形的面积为， 梯形的上底为，下底为，高为，面积为， 故所求概率． 故选：D. 题型九：概率综合问题 25．（23-24高一下·辽宁·期末）某学校为了解本校历史､物理方向学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从物理方向的学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲，从历史方向的学生中随机抽取人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图： 已知乙样本中数据在的有10个. (1)求和乙样本直方图中的值； (2)试估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的中位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）. (3)采用分层抽样的方法从甲样本数据中分数在和的学生中抽取6人，并从这6人中任取2人，求这两人分数都在中的概率. 【答案】(1)；； (2)平均值81.5，中位数82； (3) 【分析】（1）根据频率定义即可求出，再根据小矩形面积和为1即可求出值； （2）根据平均数和中位数定义计算即可； （3）列出所有情况和满足题意的情况，再利用古典概率公式即可. 【详解】（1）由直方图可知，乙样本中数据在的频率为， 则，解得； 由乙样本数据直方图可知，， 解得； （2）甲样本数据的平均值估计值为 ， 乙样本数据直方图中前3组的频率之和为， 前4组的频率之和为， 所以乙样本数据的中位数在第4组，设中位数为， ， 解得，所以乙样本数据的中位数为82. （3）由频率分布直方图可知从分数在和的学生中分别抽取2人和4人， 将从分数在中抽取的2名学生分别记为，从分数在中抽取的4名学生分别记为， 则从这6人中随机抽取2人的基本事件有 ，共15个， 所抽取的两人分数都在中的基本事件有6个，所以所求概率为. 26．（23-24高一上·安徽·期末）与国家安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视.为了普及国家安全教育，某校组织了一次国家安全知识竞赛，已知甲、乙、丙三位同学答对某道题目的概率分别为，，，且三人答题互不影响. (1)求甲、乙两位同学恰有一个人答对的概率； (2)若甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对的概率为，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）设“甲答对”，“乙答对”，则题意所求的事件为，结合互斥事件的定义与事件的独立性计算即可求解； （2）根据对立事件的定义分析题意，建立关于p的方程，解之即可求解. 【详解】（1） 设“甲答对”，“乙答对”， 则，，，， “甲，乙两位同学恰有一个人答对”的事件为，且与互斥 由三人答题互不影响，知A，互相独立，则A与，与，与均相互独立， 则， 所以甲，乙两位同学恰有一个人答对的概率为. （2） 设“丙答对”，则， 设“甲，乙，丙三个人中至少有一个人答对”，由（1）知， ，解得， 所以的值为. 27．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）某商店开业促销，推出“掷骰子赢礼金券”活动，规则为：将两枚质地均匀的骰子同时投掷一次，根据点数情形赢得一等奖、二等奖、三等奖．记事件为“两枚骰子点数相同”，事件为“两枚骰子点数相连”，事件为“两枚骰子点数不同但都是奇数或都是偶数”． (1)以事件、、发生的概率大小为依据（概率最小为一等奖，最大为三等奖），求二等奖所对应的事件； (2)若除上述三个事件之外的点数情形均没有奖，每位参与活动的顾客有两次投掷机会，求该活动中每位顾客中奖的概率. 【答案】(1)二等奖为事件 (2) 【分析】 （1）设两枚骰子的点数分别为、，用表示投掷结果，列举出所有可能的结果，利用古典概型的概率公式计算出、、的值，比较这三个概率值的大小，即可得出结论； （2）计算出投掷一次中奖的概率，再利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】（1） 解：设两枚骰子的点数分别为、，用表示投掷结果，则所有可能的结果有种， 即、、、、、、、、、、、 、、、、、、、、、、、 、、、、、、、、、、、 、、， ，则， ，则， ，则 ， ，所以二等奖为事件． （2） 解：投掷一次中奖的概率为， 该活动每位顾客中奖的概率为． 【专题强化】 一、单选题 28．（23-24高一下·辽宁抚顺·期中）某型号新能源汽车参加碰撞测试和续航测试，该型号新能源汽车参加这两项测试的结果相互不受影响．若该型号新能源汽车在碰撞测试中结果为优秀的概率为，在续航测试中结果为优秀的概率为，则该型号新能源汽车在这两项测试中仅有一项测试结果为优秀的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据独立事件的概率公式与互斥事件的概率加法公式可求概率. 【详解】根据题意可得该型号新能源汽车在这两项测试中仅有一项测试结果为优秀的概率为． 故选：C. 29．（23-24高二下·上海·阶段练习）如果事件与事件互斥，那么（ ）条件. A． B． C．与一定互斥 D．与一定独立 【答案】B 【分析】根据题意，结合实例，利用互斥事件的定义，独立事件的定义，以及概率的意义，逐项判定，即可求解. 【详解】例如：口袋中由3个红球、2个白球和1个黄球，从而任取一个球， 事件“表示取到的是红球”，事件“表示取到得是白球”，事件“表示取到的是黄球”， 此时，事件，事件和事件是互斥事件，所以事件不可能同时发生， 且， 对于A中，由，所以A不正确； 对于B中，由事件与事件不可能同时发生，可得，所以B正确； 对于C中，由事件；“取得一个球不是红球”，事件：“取得一个球不是白球”， 当取得到的一个球为黄球时，此时事件和事件同时发生， 所以与事件不一定互斥，所以C不正确； 对于D中，由，，可得， 此时事件和事件不独立事件，所以D错误. 故选：B. 30．（23-24高一上·山东威海·期末）掷红蓝两个均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件：红骰子的点数为，：红骰子的点数为，：两个骰子的点数之和为，：两个骰子的点数之和为，则（ ） A．与对立 B．与不互斥 C．与相互独立 D．与相互独立 【答案】C 【分析】根据事件的对立与互斥的概念判断AB；利用是否成立来判断CD. 【详解】对于A，事件：红骰子的点数为，：红骰子的点数为，与互斥但不对立，因为红骰子的点数还有其他情况，比如，A错误； 对于B，：两个骰子的点数之和为，：两个骰子的点数之和为，与不可能同时发生，故与互斥，B错误； 对于C，两个骰子的点数之和为的情况有， 则， 所以，所以与相互独立，C正确； 对于D，两个骰子的点数之和为的情况有， ，所以，D错误. 故选：C. 31．（23-24高二上·广东珠海·期末）任意抛掷一次骰子，朝上面的点数记为X，则，定义事件：，，，则（ ） A． B． C． D．B，C相互独立 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用古典概率计算判断ABC；利用相互独立事件的定义判断D. 【详解】对于A，，，A错误； 对于B，，，，B错误； 对于C，，则，C正确； 对于D，由选项AB知，，即B，C相互不独立，D错误. 故选：C 32．（23-24高一上·辽宁辽阳·期末）一副扑克牌（含大王、小王）共54张，A，2，3，4，5，6，7，8，9，10，J，Q，K各4张，从该副扑克牌中随机取出两张，事件“取出的牌有两张6”，事件“取出的牌至少有一张黑桃”，事件“取出的牌有一张大王”，事件“取出的牌有一张红桃6”，则（ ） A．事件A与事件互斥 B．事件与事件互斥 C．事件与事件互斥 D．事件A与事件互斥 【答案】D 【分析】根据互斥事件的定义作出判断. 【详解】ABC选项，因为事件A与事件，事件与事件，事件与事件都可以同时发生，所以A，B，C错误. D选项，因为取出的牌有两张6的同时不可能再有一张大王，所以事件A与事件C互斥. 故选：D 33．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）进入8月份后，我市持续高温，气象局一般会提前发布高温橙色预警信号（高温橙色预警标准为24小时内最高气温将升至37摄氏度以上），在今后的3天中，每一天最高气温在37摄氏度以上的概率是.用计算机生成了20组随机数，结果如下： 116 785 812 730 134 452 125 689 024 169 334 217 109 361 908 284 044 147 318 027 若用0，1，2，3，4，5表示高温橙色预警，用6，7，8，9表示非高温橙色预警，则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】查出20个随机数中表示今后3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的随机数的个数，根据古典概型的概率公式，即可求得答案. 【详解】由题意可知表示今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的随机数有： 116 812 730 217 109 361 284 147 318 027共10个， 故今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是， 故选：B 34．（23-24高二上·河南信阳·期中）抛掷一枚质地均匀的骰子，记随机事件：“点数为奇数”，“点数为偶数”，“点数大于2”，“点数不大于2”，“点数为1”.则下列结论不正确的是（ ） A．E，F为对立事件 B．G，H为互斥不对立事件 C．E，G不是互斥事件 D．G，R是互斥事件 【答案】B 【分析】根据事件之间的关系，可得答案. 【详解】E，F是对立事件，选项A正确；G，H为互斥且对立事件，选项B不正确； E，G不互斥，选项C正确；G，R为互斥事件，选项D正确. 故选：B. 35．（22-23高一下·河北邢台·期末），，，这4个电器元件出故障的概率分别为，，，，按下图的两种连接方式，图一连通的概率为，图二连通的概率为，其中电路是否连通只与电器元件是否出故障有关，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据独立事件的概率乘法公式，建立方程，可得答案. 【详解】由图一得，由图二得， 解得，所以. 故选：C. 二、多选题 36．（23-24高一下·浙江宁波·期中）已知事件A，B满足，，则（ ） A．事件A与B可能为对立事件 B．若A与B相互独立，则 C．若A与B互斥，则 D．若A与B互斥，则 【答案】BC 【分析】根据对立事件的定义判断选项A；若相互独立，则相互独立，可以判断选项B;互斥，判断选项C和D. 【详解】对于A，由,则,故A错误； 对于B，与相互独立，则与相互独立， 故,故B正确； 对于CD，互斥，则,,故C正确，D错误. 故选：BC 37．（23-24高一上·江西南昌·期末）下列说法正确的是（ ） A．一名篮球运动员，号称投篮“百发百中”，则他投篮一次，命中为必然事件 B．随机事件发生的可能性越大，它发生的概率越接近1 C．投掷两枚均匀的骰子，观察出现的点数和，点数和为2是一个样本点 D．试验“连续投掷一枚均匀的骰子直到出现3点停止，观察投掷的次数”的样本空间为 【答案】BC 【分析】由随机事件以及它的概率范围即可判断AB，由样本点，样本空间的定义即可判断CD. 【详解】对于A，他投篮一次，命中为随机事件，故A错误； 对于B，随机事件发生的可能性越大，它发生的概率越接近1，故B正确； 对于C，点数和为2当且仅当两枚骰子出现的点数都为1，这是有可能的，故C正确； 对于D，试验“连续投掷一枚均匀的骰子直到出现3点停止，观察投掷的次数”的样本空间为，故D错误. 故选：BC. 38．（23-24高一上·山东日照·期末）一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个小球，除标号外无差异．不放回地取两次，每次取出一个．事件“两次取出球的标号为1和4”，事件“第二次取出球的标号为4”，事件“两次取出球的标号之和为5”，则（ ） A． B． C．事件与不互斥 D．事件与相互独立 【答案】BCD 【分析】先利用古典概率公式分别计算，，，，，再利用互斥事件的定义和相互独立事件的概率公式逐一判断四个选项即可得正确选项. 【详解】设采用不放回方式从中任意摸球两次，每次取出一个球， 全部的基本事件有：，，，，，，，，， ，，共个， 事件发生包含的基本事件有：，有个， 事件发生包含的基本事件有：，，有3个， 所以，故A错误； 事件发生包含的基本事件：，，，有4个，， 事件发生包含的基本事件：有个，，故B正确； 事件发生包含的基本事件：，有2个，故事件与不互斥，故C正确； 事件发生包含的基本事件：有个，， 因为，所以与相互独立，故选项D正确； 故选：BCD. 39．（23-24高一上·安徽亳州·期末）中国四大名楼是一种泛称，特指山西永济鹳雀楼、江西南昌滕王阁、湖北武汉黄鹤楼、湖南岳阳岳阳楼．记事件“只去黄鹤楼”，事件“至少去两个名楼”，事件“只去一个名楼”，事件“一个名楼也不去”，事件“至多去一个名楼”，则下列命题正确的是（ ） A．E与H是互斥事件 B．F与I是互斥事件，且是对立事件 C． D． 【答案】ABC 【分析】根据互斥事件、对立事件的定义和事件间的运算即可得出答案. 【详解】对于A，事件E，H不可能同时发生，是互斥事件，故A正确； 对于B，事件F与I不可能同时发生，且发生的概率之和为1，是互斥事件，且为对立事件，故B正确； 事件“至多去一个名楼”刚好包含事件“只去一个名楼”与事件“一个名楼也不去”，所以，，故C正确，D错误 故选：ABC． 40．（23-24高一上·河南南阳·期末）甲乙两人约定玩一种游戏，把一枚均匀的骰子连续抛掷两次，游戏规则有如下四种，其中对甲有利的规则是（ ） A．若两次掷出的点数之和是2，3，4，5，6，10，12其中之一，则甲获胜，否则乙获胜 B．若两次掷出的点数中最大的点数大于4，则甲获胜，否则乙获胜 C．若两次掷出的点数之和是偶数，则甲获胜；若两次掷出的点数之和是奇数，则乙获胜 D．若两次掷出的点数是一奇一偶，则甲获胜；若两次掷出的点数均是奇数或者偶数﹐则乙获胜 【答案】AB 【分析】确定把一枚均匀的骰子连续抛掷两次，共有多少个基本事件，然后分别计算每个选项中甲获胜的基本事件数，即可比较两人获胜的概率，即可得答案. 【详解】对于A，把一枚均匀的骰子连续抛掷两次，共有36个基本事件， 两次掷出的点数之和是2，3，4，5，6，10，12的基本事件有： ， ，共19种， 则甲获胜的概率为，乙获胜概率小于，故此种情况对甲有利，A正确； 对于B，两次掷出的点数中最大的点数大于4，最大的点数为5或6， 最大的点数为5时，基本事件共有9个，最大的点数为6时，基本事件共有11个， 此时共有20个基本事件，则甲获胜的概率为，故此种情况对甲有利，B正确； 对于C，两次掷出的点数之和是偶数，共有， ，共18个基本事件， 则两次掷出的点数之和是奇数，也有18个基本事件， 此时甲、乙获胜的概率均为，此时对甲并不有利； 对于D，两次掷出的点数是一奇一偶，则基本事件有个， 两次掷出的点数均是奇数或者偶数，基本事件也是个， 此时甲、乙获胜的概率均为，此时对甲并不有利； 故选：AB 41．（23-24高一上·辽宁大连·期末）有5个标记数字1，2，3，4，5的小球，从中有放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，则（ ） A．甲与乙互斥 B．丙与丁互斥 C．甲与丙相互独立 D．乙与丁相互独立 【答案】BC 【分析】直接由互斥事件的概念判断A、B选项；计算出甲、乙、丙、丁事件的概率，由独立事件概率公式判断C、D选项即可. 【详解】由题意可知：两点数和为6的所有可能为， 两点数和为5的所有可能为， 可得甲乙丙丁， 对于A选项，甲与乙可以同时发生，例如，故选项A错误； 对于B选项，丙与丁不可能同时发生，故选项B正确； 对于C选项，（甲丙）（甲）（丙），可知甲与丙相互独立，故选项C正确； 对于D选项，（乙丁）（乙）（丁），可知乙与丁不相互独立，故选项D错误. 故选：BC. 42．（23-24高一上·陕西汉中·期末）甲罐中有个红球、个白球，乙罐中有个红球、个白球，先从甲罐中随机取一个球放入乙罐，分别以，表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件，再从乙罐中随机取出个球，以表示从乙罐中取出的球是红球的事件，下列结论不正确的是（ ） A．事件与事件相互独立 B． C．事件与事件相互独立 D．，互斥 【答案】AC 【分析】根据互斥事件、独立事件等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】，，B选项正确. ，所以A选项错误. ，所以C选项错误. 由于，不可能同时发生，所以，互斥，D选项正确. 故选：AC 三、填空题 43．（23-24高一下·浙江宁波·期中）将一枚质地均匀的骰子连续抛掷次，向上的点数分别记为，则事件“”的概率为 . 【答案】 【分析】采用列举法可得所有基本事件个数和满足题意的基本事件个数，根据古典概型概率公式可求得结果. 【详解】将一枚质地均匀的骰子连续抛掷次，向上的点数所有可能的结果有：，共个基本事件； 其中满足的有：，共个基本事件， 所求概率. 故答案为：. 44．（23-24高一上·辽宁朝阳·期末）孪生素数是指相差2的素数对，例如5和7，“孪生素数猜想”正式由希尔伯特在1900年国际数学家大会的报告上第8个问题中提出，可以这样描述：存在无穷多个素数，使得是素数，素数对称为孪生素数.在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，则这两个数为孪生素数的概率为 . 【答案】 【分析】结合古典概型求随机选取两个不同的数为孪生素数的概率即可． 【详解】由题意分析知：不超过20的素数有， 随机抽取两个不同的素数，基本事件总数， 取出的两个数是孪生素数包含的基本事件有： ,，,，,，,，共4个， 故两个数为孪生素数的概率是. 故答案为：. 45．（23-24高一上·江西上饶·期末）据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之.”围棋，起源于中国，至今已有四千多年历史，蕴含着中华文化的丰富内涵.现从2名男生和2名女生中任选2人参加围棋比赛，则所选2人中至少有1名男生的概率为 【答案】 【分析】利用列举法得到“从2名男生和2名女生中任选2人”的基本事件总数，及“至少有1名男生”包含的的基本事件个数，从而利用古典概型求解即可. 【详解】记2名男生为，2名女生为， 任选2人参加围棋比赛，则可能情况有，共6个， 所以“至少有1名男生”的情况有，共5个， 故所选2人中至少有1名男生的概率为. 故答案为： 46．（23-24高三上·广东深圳·期末）著名数学家欧几里得的《几何原本》中曾谈到：任何一个大于1的整数要么是质数，要么可以写成一系列质数的积，例如.已知，且均为质数，若从中任选2个构成两位数，且，则的十位数字与个位数字不相等的概率为 . 【答案】 【分析】求出根据，且可得，利用古典概型概率公式计算可得答案. 【详解】，可得， 若从中任选2个构成两位数，且数，且， 则有共6个， 则十位数字与个位数字不相等的有共5个， 所以的十位数字与个位数字不相等的概率为. 故答案为：. 四、解答题 47．（23-24高一下·江西赣州·期中）小王和小刘大学毕业后到西部创业，投入万元（包括购买设备、房租、生活费等）建立起一个直播间，帮助山区人民销售农产品，帮助农民脱贫致富．在直播间里，他们利用所学知识谈天说地，跟粉丝互动，聚集了一定的人气，试播一段时间之后，正式带货．他们统计了第一周的带货数据如下： 第天 销售额（万元） (1)求销售额的平均数和方差；（保留两位有效数字） (2)若销售额满足，则称该销售额为“近均值销售额”．去掉前天的销售额，在后天的销售额中任意抽取天的销售额，求取到的销售额中仅有个“近均值销售额”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平均数的定义和方差的计算公式求解； （2）确定样本空间的样本点个数，再求事件取到的销售额中仅有个“近均值销售额”中所含的样本点的个数，利用古典概型概率公式求解. 【详解】（1）， ， 所以销售额的平均数可为，方差为． （2）在后5天的销售额中，满足的是，，， 从，，，，中任取个，共有个不同结果：，． 其中，仅含有，，中一个的有6个不同结果． 所以，所求概率为． 48．（23-24高一上·辽宁朝阳·期末）2023年高考查分系统上线后，某中学为了解该校高三年级学生的数学成绩，从中抽取了100名该校学生的成绩作为样本进行统计（成绩均在分），按照，，，，，，，分组，并作出频率分布直方图，如图所示： (1)求频率分布直方图中的值，并估计该中学今年高考数学成绩的中位数； (2)该校高三数学组准备用分层抽样的方法从样本中数学成绩不低于120分的学生中抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生在新高三开学动员会上发言，求这2名学生中恰有1名成绩不低于130分的概率. 【答案】(1)0.01； (2) 【分析】（1）先由频率和为，计算得到参数的值，再由中位数两侧小矩形面积和各为，计算得到中位数即可； （2）抽样比确定样本中数学成绩不低于130分的学生数和数学成绩不低于120分的学生数，设定事件和列举基本事件的样本空间，经统计数据后，利用古典概型概率的计算公式求值即可. 【详解】（1）由题意， 得：， 设今年该中学高考数学成绩的中位数为， 则，解得. 故该中学今年高考数学成绩的中位数约为. （2）由题意可知分数在的频率为， 同理分数在的频率为， 所以分数在的抽取人数为：，记为， 分数在的抽取人数为：，记为， 从这5名学生中随机抽取2人，该试验的样本空间为： ， 所以基本事件的总数为：. 设事件“抽取的2名学生中恰有1名成绩不低于130分”， 则， 事件包含的基本事件数为：. 由古典概型概率的计算公式得：. 故这2名学生中恰有1名成绩不低于130分的概率为. 49．（23-24高一上·江西南昌·期末）如图，数轴上O为原点，点A对应实数6，现从1，2，3，4，5中随机取出两个数，分别对应数轴上的点B，C（点B对应的实数小于点C对应的实数）． (1)记事件E为：线段OB的长小于等于2，写出事件E的所有样本点； (2)记事件F为：线段OB，BC，CA能围成一个三角形，求事件F发生的概率． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）分别令或，一一列举，写出事件的所有样本点； （2）按古典概型的概率计算公式进行计算. 【详解】（1）事件E的样本点有：． （2）样本空间为：， 其中事件F包含的样本点只有：， 所以事件F发生的概率． 50．（23-24高一上·江西赣州·期末）我省从2024年开始，高考不分文理科，实行“”模式，其中“3”指的是语文、数学，外语这3门必选科目，“1”指的是考生需要在物理、历史这2门首选科目中选择1门，“2”指的是考生需要在思想政治、地理、化学、生物这4门再选科目中选择2门．已知某高校临床医学类招生选科要求是首选科目为物理，再选科目为化学、生物至少1门． (1)从所有选科组合中任意选取1个，求该选科组合符合某高校临床医学类招生选科要求的概率； (2)假设甲、乙两人每人选择任意1个选科组合是等可能的且相互独立，求这两人中恰好有一人的选科组合符合某高校临床医学类招生选科要求的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用古典概型求概率的方法求概率即可； （2）根据互斥事件概率加法公式求概率即可. 【详解】（1）用，分别表示“选择物理”“选择历史”，，，，分别表示“选择化学”“选择生物”“选择思想政治”“选择地理”， 则所有选科组合的样本空间 则 设表示“从所有选科组合中任意选取1个，有选科组合符合该医科大学临床医学类招生选科要求” 则 则 则． （2）设甲、乙两人每人的选科组合符合该医科大学临床医学类招生选科要求的事件分别为，，由题意知事件，相互独立 由（1）知 记“甲、乙两人中恰好有一人的选科组合符合该医科大学临床医学类招生选科要求”， 则 易知事件，两两互斥， 根据互斥事件概率加法公式得 ． 51．（23-24高一上·辽宁丹东·期末）国务院于2023年开展第五次全国经济普查，为更好地推动第五次全国经济普查工作，某地充分利用信息网络开展普查宜传，向基层普查人员、广大普查对象及社会公众宣传经济普查知识.为了解宣传进展情况，现从参与调查的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄（单位：岁）分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示. (1)求这组数据的分位数（精确到0.1）： (2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人. ①再从第二组和第五组中抽取的人中任选3人进行问卷调查，求从中至少抽到2人进行问卷调查的概率； ②若第2组中参与调查的人的年龄的平均数和方差分别为30和6，第3组中参与调查的人的年龄的平均数和方差分别为40和6，据此估计这次参与调查的人中第2组和第3组所有人的年龄的方差. 【答案】(1) (2)①；②27 【分析】（1）根据频率分布直方图求,即可根据面积求解第30百分位数； （2）①由列举法结合古典概型的概率公式计算即可；②由平均数、方差的计算公式求解即可． 【详解】（1）由表中数据可得，解得， 设第30百分位数为， ，， 位于第三组：内， ； （2）①由题意得，第2组和第5组的频率分别为，故第2组和第5组所抽取的人数之和为， 且第2组和第5组抽取人数之比为， 即第2组3人，记为，，， 第5组2人，记为甲，乙， 对应的样本空间为：，甲，乙， 甲，乙，甲乙，甲，乙， 甲乙，甲乙，共10个样本点， 设事件为“至2人被选上”， 则有，甲，乙， 甲，乙，甲，乙，共有7个样本点， ； ②设第2组的宣传使者的年龄平均数分为，方差为， 设第3组的宣传使者的年龄平均数为，方差为， 第2组和第3组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为， 则， 即第2组和第3组所有宣传使者的年龄平均数为37，． 即第2组和第3组所有宣传使者的年龄方差为27． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$