专题04 基本不等式及其应用-2023年新高考艺术生40天突破数学90分讲义

专题04基本不等式及其应用 【考点预测】 1、基本不等式 如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号； 基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号． 注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．（2）连续使用不等式要注意取得一致． 【方法技巧与总结】 1、几个重要的不等式 （1） （2）基本不等式：如果，则（当且仅当“”时取“”）． 特例：（同号）． （3）其他变形： ①（沟通两和与两平方和的不等关系式） ②（沟通两积与两平方和的不等关系式） ③（沟通两积与两和的不等关系式） ④重要不等式串：即 调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）． 2、均值定理 已知． （1）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值”． （2）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即积为定值，和有最小值”． 3、常见求最值模型 模型一：，当且仅当时等号成立； 模型二：，当且仅当时等号成立； 模型三：，当且仅当时等号成立； 模型四：，当且仅当时等号成立． 【题型归纳目录】 题型一：基本不等式及其应用 题型二：直接法求最值 题型三：常规凑配法求最值 题型四：消参法求最值 题型五：换元法求最值 题型六：“1”的代换求最值 题型七：利用基本不等式证明不等式 题型八：利用基本不等式解决实际问题 【典例例题】 题型一：基本不等式及其应用 例1．（2023·全国·高三专题练习）下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A选项，当时，不等式显然不成立，故错误； 对于B选项，成立的条件为，故错误； 对于C选项，当时，不等式显然不成立，故错误； 对于D选项，由于，故，正确. 故选：D 例2．（2023春·安徽·高三蚌埠二中校联考阶段练习）下列几个不等式中，不能取到等号的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对A，当且仅当即等号成立； 对B，当且仅当即等号成立； 对C，当且仅当即时等号成立； 对D，当且仅当得时等号成立，无解，等号不成立． 故选：D． 例3．（2023·全国·高三专题练习）给出下面三个推导过程： ①∵a、b为正实数，∴＋＝2； ②∵a∈R，a≠0，∴＋a＝4； ③∵x、y∈R，xy＜0，∴＋＝－＝－2. 其中正确的推导为（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【解析】①，根据基本不等式的知识可知①正确. ②，当时，，所以②错误. ③，根据基本不等式的知识可知③正确. 所以正确的为①③. 故选：B 变式1．（多选题）（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第一二二中学校校考期末）下列命题中，真命题的是（    ） A．，都有 B．，使得 C．任意非零实数，都有 D．若，则的最小值为4 【答案】AB 【解析】对于A，恒成立， 则，都有，A选项正确； 对于B，当时，， （当且仅当时取等号）， ，，使得，B选项正确； 对于，当时，，C选项错误； 对于 D，当时，，令, 在上单调递增， ， 则的最小值不是4，D选项错误； 故选：AB. 变式2．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）下列推导过程，正确的为（    ） A．因为、为正实数，所以 B．因为，所以 C．，所以 D．因为、，，所以 【答案】AD 【解析】对于A选项，则，当且仅当时等号成立，A选项正确； 对于B选项，，，，B选项错误； 对于C选项，当时，，当且仅当时等号成立，C选项错误； 对于D选项，因为、，、则，.，当且仅当时等号成立，D选项正确． 故选：AD 【方法技巧与总结】 熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验证． 题型二：直接法求最值 例4．（2023·全国·高三专题练习）已知a＞0，b＞0，且a+2b＝ab，则ab的最小值是（　　） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】B 【解析】∵已知a＞0，b＞0，且a+2b＝ab，∴ab≥2， 化简可得 2， ∴ab≥8，当且仅当a＝2b时等号成立， 故ab的最小值是8， 故选：B． 例5．（2023·全国·高三专题练习）若实数a，b满足，则ab的最大值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【解析】∵，， ∴，即，当且仅当时等号成立， ∴． 故选：D． 例6．（2023·全国·高三专题练习）已知，且，则的最大值为（    ） A．2 B．5 C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以，当且仅当时，等号成立. 所以的最大值为