专题06 半角模型综合应用（知识解读）-备战2023年中考数学《重难点解读•专项训练》（全国通用）

令学利网 学科网原创，让学司更名易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 专题06半角模型综合应用（知识解读） 【专题说明】 角含半角模型，顾名思义即一个角包含着它的一半大小的角。它主要包含：等腰直角三角 形角含半角模型：正方形中角含半角模型两种类型。解决类似问题的常见办法主要有两种： 旋转目标三角形法和翻折目标三角形法。 【方法技巧】 类型一：等腰直角三角形角含半角模型 (1)如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点D,E在BC上，且∠DAE=45°，则：BD +CE=DE. A B E E 旋 转 法 翻折法 作法1：将△ABD旋转90” 作法2：分别翻折△ABD,△ACE (2)如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC-90°，点D在BC上，点E在BC延长线上，且∠ DAE=45°，则：BD+CE=DE D 旋转法 翻折法 (3)如图，将等腰直角三角形变成任意等腰三角形时，亦可以进行两种方法的操作处理 1 学利四 学科网原创，让学司更名易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 F 任意等腰三角形 旋转法 翻折法 类型二：正方形中角含半角模型 (1)如图，在正方形ABCD中，点E,F分别在边BC,CD上，∠EAF=45°，连接EF,过点 A作AG⊥于EF于点G,则：EF=BE+DF,AG=AD B 5 5 E E G G D 图示(1) 作法：将△ABE绕点A逆时针旋转90 (2)如图，在正方形ABCD中，点E,F分别在边CB,DC的延长线上，∠EAF=45°，连接 EF,则：EF=DF-BE E D C C G 图示(2) 作法：将△ABE绕点A逆时针旋转90 (3)如图，将正方形变成一组邻边相等，对角互补的四边形，在四方形ABCD中，AB=AD, 1 ∠BAD+∠C-180°，点E,F分别在边BC,CD上，∠EAF=2∠BAD,连接EF,则：EF=BE +DF. 学利网 学科网原创，让学司更名易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 0 图示(3) 作法：将△ABE绕点A逆时针旋转∠BAD的大小 类型三：等边三角形中120°含60°的半角模型 作辅助线：延长FC到G,使得CG=BE,连接DG 结论：▲DEF≌▲DGF;EF=BE+CF 【典例分析】 【类型一：等腰直角三角形角含半角模型】 【典例1】如图，四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=CD,若将△ABC绕着点C 逆时针旋转90°得△EDC. (1)求证：∠ADC+∠CDE=180°； (2)若AB=3Cm,AC=4W2cr,求AD的长： (3)在(2)的条件下，求四边形ABCD的周长和面积. B 学利吗 学科网原创，让学司更名易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 【变式1-1】如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,D、E为BC边上两点，∠DAE =45°，过A点作AF⊥AE,且AF=AE,连接DF、BF.下列结论：①△ABF≌△ACE, ②AD平分∠EDF:③若BD=4,CE=3,则AB=6√2：④若AB=BE,S△ABD= 片$A知E'其申正确的个数有( B D E A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【变式1-2】如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点M,N在边BC 上，且∠MAN=45°.若B队M=1,CN=3,则MN的长为一 B 【类型二：正方形中角含半角模型】 【典例2】(2022春·西山区校级月考)如图，已知正方形ABCD,点E、F分别是AB、BC 边上，且∠EDF=45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM. (1)求证：△EDF≌△MMDF; (2)若正方形ABCD的边长为5，AE=2时，求EF的长？ 学科网 学科网原创，让学司更名易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 A D E M F 【变式2-1】(2022春·路北区期末)如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF=45°， AE交BC于点E,AF交CD于点F,连接EF,将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ ABG. (1)求证：GE=FE: (2)若DF=3,求BE的长为 D G B E 【变式2-2】(2021秋山西期末)阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 从正方形的一个顶点引出夹角为45”的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点 构成的基本平面几何模型称为半角模型.半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形ABCD中，以A为顶点的∠EAF=45,AE、AF与BC、CD边分别交 于E、F两点，易证得EF=BE+FD. 大致证明思路：如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得到△4BH,由∠HBE=180 可得H、B、E三