1.空间向量及其运算-【快乐假期】2022-2023学年高二数学寒假作业（新教材，人教A版）

　　一、空间向量及其运算　　　　　　　 1．空间向量的概念 (1)相等向量 ________的向量叫相等向量． (2)共线向量或平行向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相________，那么这些向量叫做共线向量或平行向量，记法：如a平行b记作：________. 2．两个向量的夹角 (1)a，b是两个非零向量，则其夹角记为________，范围是________． (2)若〈a，b〉＝90°，则称a与b________________，记作：__________. 3．公式：a·b＝________. 4．性质：(1)a·e＝__________(其中e为单位向量)； (2)a⊥b，则a·b＝____________，反之也成立； (3)|a|2＝________. 5．坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) (1)a＋b＝__________________________， a－b＝____________________， λa＝____________________， a·b＝____________________. (2)设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)， 则A＝______________________. (3)向量平行的坐标表示 a∥b(b≠0)⇔____________________. 或当b与三条坐标轴都不平行时，a∥b⇔________________________. (4)向量垂直的坐标表示 a⊥b⇔______________＝0. (5)向量长度与两个向量夹角的坐标计算公式设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 |a|＝______________________. |b|＝______________________. cos 〈a，b〉＝________＝________. (6)空间两点间的距离公式 设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则 |A|＝________________________________________________________________________. 1．(1)大小相等方向相同　(2)平行或重合　a∥b　2.(1)〈a，b〉　[0，π]　(2)垂直　a⊥b 3．|a||b|cos θ　4.(1)|a|cos θ　(2)0 (3)a·a　5.略 空间向量数量积运算与运算律 向量的数量积运算只适合交换律、加乘分配律及数乘结合律，不满足： (1)消去律：即由a·b＝b·c不能推出a＝c，即向量不能约分； (2)乘法结合律：即(a·b)c＝a(b·c)不一定成立，这是因为(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，但c与a不一定共线． 1．若△ABC中，∠C＝90°，A(1,2，－3k)，B(－2,1,0)，C(4,0，－2k)，则k的值为(　　) A.　　　　　　B．－ C．2 D．± 2．设O是△ABC的外心，则、、是(　　) A．相等向量 B．平行向量 C．模相等的向量 D．起点相同的向量 3．已知点M在平面ABC内，并且对空间任一点O，＝x＋＋，则x的值为(　　) A. B. C. D．0 4．若向量a＝(2,2,3)，b＝(－1,2,1)，c＝(0,1,1)，则a·(b＋c)＝(　　) A．5 B．8 C．10 D．12 5．(多选)已知三条直线l1，l2，l3的一个方向向量分别为a＝(4，－1,0)，b＝(1,4,5)，c＝(－3,12，－9)，则下列说法错误的是(　　) A．l1⊥l2，但l1与l3不垂直 B．l1⊥l3，但l1与l2不垂直 C．l2⊥l3，但l2与l1不垂直 D．l1，l2，l3两两互相垂直 6．(多选题)以下四个命题中，不正确的是(　　) A．若＝＋，则P、A、B三点共线 B．△ABC是直角三角形的充要条件是·＝0 C．设{a，b，c}是空间一个基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间的另一个基底 D．|(a·b)c|＝|a|·|b|·|c| 7．在空间四边形ABCD中，·＋·＋·＝________. 8．在直角坐标系O­xyz中，已知点P(2cos x＋1,2cos 2x＋2,0)和点Q(cos x，－1,3)，其中x∈[0，π]，若直线OP与直线OQ垂直，x的值为________． 9．若A，B，C是平面α内的三点，设平面α的法向量a＝(x，y，z)，则x∶y∶z＝________. 10．如图在正三棱锥P­ABC中，AB＝PA＝2，则〈，〉＝________；〈，〉＝________. 11．已知平行四边形ABCD，从平面ABCD外一点O引向量＝k， ＝k，＝k，＝k. (1