13.函数的极值与最大（小）值-【快乐假期】2022-2023学年高二数学寒假作业（新教材，人教A版）

1．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)； (2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0； (3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值； (4)回归实际问题作答． 2．不等式问题 (1)证明不等式时，可构造函数，将问题转化为函数的极值或最值问题． (2)求解不等式恒成立问题时，可以考虑将参数分离出来，将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题． 1．实际问题的最值 (1)注意函数定义域的确定 (2)在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较． 2．判断方程根的个数时，可以利用数形结合思想及函数的单调性． 1．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是(　　) A．(－1,2)　　B．(－∞，－3)∪(6，＋∞) C．(－3,6) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞) 2．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－286，则该生产厂家获取的最大年利润为(　　) A．300万元　　　　　B．252万元 C．200万元 D．128万元 3．已知函数f(x)＝x2＋mx＋ln x是单调递增函数，则m的取值范围是(　　) A．m＞－2 B．m≥－2 C．m＜2 D．m≤2 4．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则其高为(　　) A.cm B．100 cm C．20 cm D. cm 5．(多选)下列命题正确的是(　　) A．函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的 B．函数的极大值不一定比极小值小 C．对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件． D．函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值． 6．(多选)若函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d有极值，则导函数f′(x)的图象可能是(　　) 7．在半径为r的半圆内作一内接梯形，使其下底为直径，其它三边为圆的弦，则梯形面积最大时，梯形的上底长为________． 8．已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是增函数，则a的最大值是________． 9．设f(x)＝，其中a为正实数，若f(x)为R上的单调函数，则a的取值范围为________． 10．某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(万元)与营运年数x(x∈N*)满足y＝－x2＋12x－25，则每辆客车营运________年，可使其营运年平均利润最大，最大利润为________万元． 11．(2021·全国甲卷，20)设函数f(x)＝a2x2＋ax－3ln x＋1，其中a>0. (1)讨论f(x)的单调性； (2)若y＝f(x)的图像与x轴没有公共点，求a的取值范围． 12．已知函数f(x)＝aln x(a＞0)，e为自然对数的底数． (1)过点A(2，f(2))的切线斜率为2，求实数a的值； (2)当x＞0时，求证：f(x)≥a； (3)在区间(1，e)上e－ex＜0恒成立，求实数a的取值范围． 1．(2022·全国乙卷，21)已知函数f(x)＝ln(1＋x)＋axe－x. (1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； (2)若f(x)在区间(－1,0)，(0，＋∞)各恰有一个零点，求a的取值范围． 2．(2022·北京卷，20)已知函数f(x)＝exln(1＋x)． (Ⅰ)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； (Ⅱ)设g(x)＝f′(x)，讨论函数g(x)在[0，＋∞)上的单调性； (Ⅲ)证明：对任意的s，t∈(0，＋∞)， 有f(s＋t)＞f(s)＋f(t)． 参考答案 假期作业(十三) 技能提升台　技能提升 1．B　2.C　3.B　4.A　5.BD　6.ABC 7．解析：设上底的一半为x，高为h，则h＝梯形面积S＝(r＋x)·则S′＝，令S′＝0得x＝.当x∈时，S′＞0，S为增函数，当x∈时S′＜0，S为减函数．∴S在x＝时取得最大值所以梯形面积最大时，梯形的上底长为r. 答案：r 8．解析：f′(x)＝3x2－a≥0在[1，＋∞)上恒成立， 即a≤3x2在[1，＋∞)上恒成立，所以a≤3. 答案：3 9．解析：f′(x)＝＝ ，由题意得ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立，所以Δ＝4a2－4a≤0，所以a的取值范围为(0,1]． 答案：(0,1] 10．解析：∵总利润y(万元)与营运年数x之间的关系式为y＝－x2＋12x－25， ∴平均利润