北京市东直门中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题

2022北京东直门中学高一(下)期中 数 学 一、选择题:共10小题,每小题5分,共50分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。 1.如图所示,用符号语言可表达为 A.,, B.,, C.,,, D.,,, 2.已知复数在复平面上对应的点为,则 A. B. C. D.是纯虚数 3.已知点,,向量,若,则实数的值为 A.5 B.6 C.7 D.8 4.在中,若,,,则 A.25 B.5 C.4 D. 5.已知空间中不过同一点的三条直线,,.则“,,共面”是“,,两两相交”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 6.加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运动,处于如图所示的平衡状态时,若两只胳膊的夹角为,每只胳膊的拉力大小均为,则该学生的体重(单位:约为 (参考数据:取重力加速度大小为, A.63 B.69 C.75 D.81 7.下面四个命题: ①若直线,异面,,异面,则,异面; ②若直线,相交,,相交,则,相交; ③若,则,与所成的角相等; ④若,,则. 其中真命题的个数为 A.4 B.3 C.2 D.1 8.已知直线是函数的图象的一条对称轴,为了得到函数的图象,可把函数的图象 A.向左平行移动个单位长度 B.向右平行移动个单位长度 C.向左平行移动个单位长度 D.向右平行移动个单位长度 9.已知,是方程的两个根,且,,则 A. B. C.或 D.或 10.在中,向量与满足,且,则为 A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等腰直角三角形 二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分) 11. . 12.复数,其中为虚数单位,则的实部是 . 13.已知点,是角的终边与单位圆的交点,则 . 14.已知正方形的边长为2,为的中点,则 . 15.如图,在棱长为2的正方体中,,分别为,的中点,则过,,三点的平面截正方体所得截面的面积为 . 16.用一张纸围绕半径为的石膏圆柱体包裹若干圈,然后用裁纸刀将圆柱体切为两段,如图①所示.设圆柱体母线与截面的夹角为,如图②.将其中一段圆柱体外包裹的纸展开铺平,如果忽略纸的厚度造成的误差,我们会发现剪裁边缘形成的曲线是正弦型曲线,如图③.建立适当的坐标系后,这条曲线的解析式可设为,,若的最小正周期为,则 ,此时,当 时,可使的值域为. 三、解答题(本大题共5小题,每题14分,共70分) 17.已知向量、的夹角为,且,. (1)求的值; (2)求的值. 18.如图,在长方体中,. (1)若该长方体被过顶点,,的平面截去一个三棱锥,求剩余部分的体积; (2)若该长方体的所有顶点都在球的球面上,求球的体积. 19.如图,在中,已知,是边上的一点,,,. (1)求; (2)求. 20.在①,②,③这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解决该问题. 已知的内角,,的对边分别为,,,_,,, (1)求角; (2)求的面积. 21.已知函数. (Ⅰ)求函数的最小正周期; (Ⅱ)求函数的单调递增区间; (Ⅲ)若方程在内有两个不同的解,求实数的取值范围. 参考答案 一、选择题:共10小题,每小题5分,共50分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。 1.【分析】结合图形考查两个平面的位置关系、两条直线的位置关系,以及点与线、线与面的位置关系. 【解答】解:如图所示,两个平面与相交于直线,直线在平面内,直线和直线相交于点, 故用符号语言可表达为,,, 故选:. 【点评】本题考查平面的画法及表示,点、线、面之间的位置关系的符号表示. 2.【分析】直接由复数的基本概念得答案. 【解答】解:复数在复平面上对应的点为, ,,,是纯虚数. 故选:. 【点评】本题考查了复数的基本概念,考查了复数模的求法,是基础题. 3.【分析】点,,向量,求出,,由此能求出. 【解答】解:点,,向量, , , , 解得. 故选:. 【点评】本题考查实数值的求法,考查平面平行的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题. 4.【分析】结合余弦定理与完全平方和公式,进行运算,得解. 【解答】解:由余弦定理知,, 所以. 故选:. 【点评】本题考查解三角形,熟练掌握余弦定理是解题的关键,考查运算求解能力,属于基础题. 5.【分析】由,,在同一平面,则,,相交或,,有两个平行,另一直线与之相交,或三条直线两两平行,根据充分条件,必要条件的定义即可判断. 【解答】解:空间中不过同一点的三条直线,,,若,,在同一平面,则,,相交或,,有两个平行,另一直线与之相交,或三条直线两两平行. 而若“,,两两相交”,则“,,在同一平面”成立. 故,,在同一平面”是“,,两两相交”的必要不充分条件, 故选:. 【点评】本题借助空间的位置关