精品解析：天津市南开中学2022-2023学年高三上学期阶段性测试(三)数学试题

天津市南开中学2023届高三阶段性测试（三）数学试题 一、选择题（每题5分，共45分） 1. 设为虚数单位，则复数虚部是（ ） A. B. C. D. 2. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线，，则是的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 4. 展开式中的常数项是（ ） A. B. 135 C. 1215 D. 5. 已知，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 将函数的图象纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，再向左平移个单位，得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的图象关于直线对称 C. 过点 D. 在区间上单调递增 7. 设抛物线的焦点为，上一点，满足直线与轴正半轴交于点，且在，之间，若，且点到抛物线准线的距离为，则点的纵坐标为（ ） A. 1 B. C. D. 8. 已知双曲线右焦点为，关于原点对称的两点，分别在双曲线的左、右两支上，，，且点在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数，若方程有个不等实根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题5分，共30分） 10. 某校为了解学生关于校本课程的选课意向，计划从高一、高二这两个年级共名学生中，采用分层抽样的方法抽取人进行调查．已知高一年级共有名学生，那么应抽取高一年级学生的人数为_________ 11. 一批产品分为一，二，三3个等级，其中一级品的个数是二级品的两倍，三级品的个数是二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量，则______． 12. 等差数列中，，，则数列的前项和为______. 13. 已知，都是正数，则最小值是______. 14. 已知圆的圆心为，且有一条直径的两个端点分别在两坐标轴上，若直线与交于两点，，则实数__________． 15. 如图，在中，，，点满足，，为中点，点在线段上移动（包括端点），则的最小值是______. 三、解答题（共75分，16题14分，17-19题每题15分，20题16分） 16. 在，中，记角，，的对边分别为，，，已知. （1）求角； （2）已知点在边上，且，，，求的面积. 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角余弦值； （3）若点在棱上，且平面，求线段的长. 18. 已知椭圆中心在原点，右焦点，离心率. （1）求椭圆的标准方程； （2）若椭圆左右顶点分别为和，为椭圆位于第二象限的一点，在轴上存在一点，满足，设和的面积分别为和，当时，求直线的斜率. 19. 已知公差不为零的等差数列，为等比数列，且满足，，，，，成等比数列. （1）求数列和的通项公式； （2）设数列的前项和为，若不等式恒成立，求实数的取值范围. 20. 已知函数. （1）当，时，求的单调区间； （2）若在区间内存在极值点. ①求实数的取值范围； ②求证：在区间内存在唯一的，使，并比较与的大小，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市南开中学2023届高三阶段性测试（三）数学试题 一、选择题（每题5分，共45分） 1. 设为虚数单位，则复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法化简复数，结合复数的定义可得出合适的选项. 【详解】因为，因此，复数的虚部为. 故选：B. 2. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解出集合，利用补集和交集的含义即可得到答案. 【详解】，则或，则或，， ，则， 故选：D. 3. 已知直线，，则是的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】根据求出实数的值，再利用集合的包含关系判断可得出结论. 详解】若，则，解得或， 当时，直线的方程为，直线的方程为，此时； 当时，直线的方程为，直线的方程为，此时. 因为，因此，是充分不必要条件. 故选：A. 4. 展开式中的常数项是（ ） A. B. 135 C. 1215 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由二项展开式通项公式确定常数项的项数，从而得结论. 【详解】由二项展开式通项公式可得， 令解得， 所以常数项， 故选：B 5. 已知，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用对数函数与指数函数的性质，以及指数幂的运算公式即可求解. 【详解