天津市双港中学2022-2023学年高二上学期1月期末数学试题

数学自测练习 一、单选题（9*4=36 分） 1. 过点�(2, − 1)且倾斜角为 � 4的直线方程是( ) A. � − � + 1 = 0 B. � − � − 3 = 0 C. 2� − 2� + 2 + 1 = 0 D. 2� − 2� − 2 − 2 = 0 2. 准线为� =− 2的抛物线的标准方程是( ) A. �2 =− 4� B. �2 =− 8� C. �2 = 4� D. �2 = 8� 3. 已知圆的一条直径的端点分别是� −1,0 ，� 3, − 4 ，则该圆的方程为 ( ) A. � + 1 2 + � − 2 2 = 8 B. � − 1 2 + � + 2 2 = 8 C. � + 1 2 + � − 2 2 = 32 D. � − 1 2 + � + 2 2 = 32 4. 下列关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是 ( ) A. �� = � �+1 2 B. �� = �2 − � + 1 C. �� = � �−1 2 D. �� = � �+2 2 5.下列命题中正确的个数为( ) ①直线 3� + 2� − 1 = 0的一个方向向量为(1, − 3 2 )； ②双曲线� 2 4 − �2 = 1的渐近线方程为� =± 2�； ③椭圆� 2 4 + �2 = 1的长轴长为 2；④圆�2 + �2 + 2� − 4� = 0的半径为 5． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.已知双曲线 �2 �2 − � 2 �2 = 1(� > 0, � > 0)的焦距为 2 5，且双曲线的一条渐近线与直线 2� + � + 1 = 0平行，则双曲线的方程为( ) A. � 2 4 − �2 = 1 B. 3� 2 5 − 3� 2 20 = 1 C. �2 − � 2 4 = 1 D. � 2 16 − � 2 4 = 1 7.如图所示，椭圆中心在原点，�是左焦点，直线��1与��交于点�，且∠���1 = 90∘， 则椭圆的离心率为( )A. 5−1 2 B. 3−1 2 C. 5−1 2 D. 3 2 8. 已知平行六面体���� − �1�1�1�1的各棱长均为 1， ∠�1�� = ∠�1�� = 45°，∠��� = 90°，则|��1| =( ) A. 3 B. 2 C. 2 − 1 D. 2 + 1 9.已知数列{��}满足�1 + 1 2 �2 + 1 22 �3 +⋯+ 1 2�−1 �� = �， � ∈ �∗，记数列{2�� − �}的前�项和为��，则�� =( ) A. 2� − � 2 2 − � 2 − 1 B. 2�+1 − � 2 2 − � 2 − 2 C. 2� − � 2 2 − � 2 D. 2� − � 2 2 − � 2 − 3 二、填空题（6*4=24 分） 10.已知{��}为等差数列，�3 + �8 = 22，�6 = 7，则�5 = ． 11.已知a = 2，− 1，3 ，b = −4，2，x ，且 ba   ，则 x . 12.已知圆�1：�2 + �2 + 2� + 8� − 8 = 0，圆�2：�2 + �2 − 4� − 4� − 2 = 0，则圆�1 与圆�2的位置关系是 ． 13.已知圆 C：(� + 2)2 + (� − 6)2 = 1，关于直线 3� − 4� + 5 = 0对称的圆的方程 为 . 14.已知直线� = �� − 1与双曲线�2 − �2 = 4有公共点，则 k的取值范围为 15. 给出下列命题： (1)直线� = �(� − 2)与线段��相交，其中�(1,1)，�(4,2)，则�的取值范围是[ − 1,1]； (2)圆�：�2 + �2 = 4上恰有 3个点到直线�：� − � + 2 = 0的距离为 1； (3)直线� = � − 1与抛物线�2 = 4�交于�，�两点，则以��为直径的圆恰好与 直线� =− 1相切． 其中正确的命题有 . (把正确的命题的序号填上) 三、解答题 16.（14 分）已知圆�：�2 + �2 − 2� − 4� + � = 0． (1)若圆�与直线�：� + 2� − 4 = 0相交于�、�两点，且|��| = 4 5 5 ，求�的值； (2)在(1)成立的条件下，过点�(2,1)引圆的切线，求切线方程． 17.（15 分）如图，�� ⊥平面����，��/ �� = �� = 2 C F = 2． (1)求证： /��，��//��，�� ⊥ ��，�� = �� = 1， ��/ (2)求直线��与平面���所成角的正弦值； (3)求平面���与平面���夹角的余弦值 ​ /平面���； ． 18.（15 分）已知椭圆 �2 �2 +