第17章一元二次方程-根的判别式 课件 2022--2023学年沪科版八年级下册数学

根的判别式 知识梳理 >0 ≥0 一元二次方程根的判别式的定义 ax2+bx+c=0 (a≠0) b2-4ac<0 ⇔方程没有实数根,反之亦然; ⇔方程有两个相等的实数根 ,反之亦然; ⇔方程有两个不等的实数根, b2-4ac = 0 b2-4ac > 0 <0 = 0 >0 根的判别式 Δ 反之亦然. 不解方程,判别方程的根的情况. 引例 ① x2+1=0 ②(x+4)2=0 ③x2+2x=3 ④-2x2-x=0 Δ=b2-4ac=02-4×1×1=-4<0 Δ=b2-4ac=22-4×1×(-3)=16>0 x2+0x+1=0 Δ<0 无实数根 x2+8x+16=0 Δ=b2-4ac=82-4×1×16=0 Δ=0 两个相等实数根 Δ=b2-4ac=(﹣1)2-4× (﹣2) ×0 =1>0 Δ >0 两个不相等实数根 Δ >0 两个不相等实数根 x2+2x-3=0 -2x2-x + 0=0 运用一元二次方程根的判别式时,必须把所给的方程化成一般形式后方可使用! 证明和判别根的情况 含参一元二次方程 判断方程根的情况 步骤 1 用系数表示出根的判别式; 2 对判别式进行配方整理 ; 3 根据平方式的非负性确定判别式的正负性 ,进而确定方程根的情况. 求证:不论m取何值,关于x的一元二次方程9x2-(m+7)x+m-3=0 有两个不相等的实数根. 例1 分析 证明 a=9, Δ=b2-4ac=[-(m+7)]2-4×9×(m-3) =m2+14m+49-36m+108 =m2-22m+157 =(m-11)2+36 ∵不论m取何值,均有(m-11)2≥0 ∴(m-11)2+36>0,即Δ>0 ∴不论m取何值,方程都有两个不相等的实数根 a b=-(m+7), c=m-3 b c ≥0 先正确列出根的判别式,然后对其进行配方整理,最后对根的判别式的正负性进行判断. 写出根的判别式, 对判别式进行配方整理, 进而确定判别式的符号. 对于任意实数k,关于x的方程 ﹣(k+5)x+k2+2k+25=0的根的情况为( ) 例2 分析 写出根的判别式, 解答 对判别式进行配方整理, 进而确定判别式的符号. c=k2+2k+25 A.有两个相等的实数根 B.没有实数根 C.有两个不相等的实数根 D.无法判定 Δ= b2-4ac=[﹣(k+5)]2﹣4× ×(k2+2k+25) =﹣k2+6k﹣25 =﹣(k﹣3)2﹣16, ∵不论k为何值,﹣(k﹣3)2≤0, ∴Δ=﹣(k﹣3)2﹣16<0, ∴方程没有实数根. B b=﹣(k+5), a= , 故选:B 本题考查了运用根的判别式判断一元二次方程的根的情况,对系数含参型一元二次方程,首先要对判别式进行配方整理,再根据完全平方式的非负性来判断判别式的正负性. a b c ≥0 确定参数的取值范围 给出方程根的情况 求参数取值范围(值) 步骤 1 用系数表示出根的判别式; 2 根据Δ>0时,方程有两个不等实数根, Δ=0时,方程有两个相等的实数根, Δ<0时,无实数根,建立关于参数的不等式或方程; 3 解不等式或方程,求参数取值范围或参数值. 若关于x的方程x2+2(a+1)x+a2+4a-5=0有实数根,求正整数a的值. 例3 分析 根据方程有实数根可知Δ≥0, 然后解不等式即可求出a的范围, 解答 Δ=[2(a+1)]2﹣4×(a2+4a-5) =4a2+8a+4-4a2-16a+20 =﹣8a+24 ∵方程有实数根, 即﹣8a+24≥0, ∴a的值为1,2,3. 列出关于a的不等式, 找到正整数a的值. ∴Δ≥0. 解得:a≤3, ∵a为正整数, 对于二次项系数不含参数的一元二次方程,已知根的情况,求参数的取值范围问题,先将方程化成一般形式,然后写出根的判别式,根据根的个数与判别式之间的关系,建立关于参数的不等式或方程,求出参数取值范围. 已知:关于x的方程mx2﹣4x+1=0有实数根,求m的取值范围. 例4 分析 对参数m进行讨论 当m=0时,方程为关于x的一元一次方程,直接判断根的情况; 当m≠0时,方程为关于x的一元二次方程,根据△≥0,建立关于m的不等式,解之即可得出m的取值范围. 解答 当m=0时,方程可化为:﹣4x+1=0为关于x的一元一次方程, 方程有实数根, 当m≠0时,则方程mx2﹣4x+1=0为关于x的方程为一元二次方程, ∵关于x的一元二次方程mx2﹣4x+1=0有实数根, ∴Δ=(﹣4)2﹣4×m×1=16﹣4m≥0, 解得:m≤4且m≠0. 综上所述,m的取值范围是m≤4. 解得:x= , 对于二次项系数含有参数的方程,要分两种情况考虑,第一种情况是二次项系数为零时,则此方程为一元一次方程,根据一元一次方程是否有实根的判别条件,来判定此方程根的情况;第二种情