北京市石景山区2022-2023学年高二上学期1月期末数学试题

高二数学参考答案第1页（共8页） 石景山区 2022—2023 学年第一学期高二期末 数学试卷答案及评分参考 一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 4分，共 40 分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D C A B C D C B B 二、填空题：本大题共 5个小题，每小题 3分，共 15 分． 三、解答题：本大题共 5个小题，共 45 分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步 骤． 16． (本小题满分 8 分) 解：由 得 所以点 的坐标为 ． ……3 分 设直线 的方程为 ，把 代入方程，得 ． 即直线 的方程为 ． ……5 分 由 得 所以点 的坐标为 ． ……8 分 2 3 0, 3 0 x y x y - + =ì í + - =î 0, 3, x y =ì í =î A ( )0,3 BC 2 0x y c+ + = ( )4,2B 8c = - BC 2 8 0x y+ - = 2 8 0, 3 0 x y x y + - =ì í + - =î 2, 5, x y = -ì í =î C ( )2,5- 题号 11 12 13 14 15 答案 ①③④ 10 2 2 1- 2 2( 1) 4x y+ - = 高二数学参考答案第2页（共8页） 17．(本小题满分 10 分) 解：（Ⅰ）因为 ，所以 . 又因为 , 以 为坐标原点， 方向分别为 x轴，y轴，z轴 正方向，建立如图所示空间直角坐标系. ……2 分 则 ， ， ， . 所以 ， . 因为 ，所以 即 . ……3 分 （Ⅱ） ， ， 设平面 的法向量 . ， ， 令 ，得 . 所以平面 的法向量 . ……5分 因为 ， . 直线 与平面 所成角的正弦值为 . ……7 分 （Ⅲ）因为 ， 所以 , 是平面 的法向量. ……8 分 . 平面 的法向量 . . 1AA ABC^平面 1 1,AA AB AA AC^ ^ AB AC^ A 1, ,AB AC AA (0,0,0)A (2,0,0)B (0,1,0)C 1(0,0,2),A 1(0,1,2),C (0,0,1)M (2,0,1)N 1 (0, 1, 1)C M = - - (2, 1,1)CN = - 1 0 1 1 0C M CN× = + - = 1C M CN^ ， 1C M CN^ ( 2,1,0)BC = - ( 2,0,1)BM = - BCM ( , , )n x y z= 2 0n BC n BC x y^ Þ × = - + = 2 0n BM n BM x z^ Þ × = - + = 1x = 2, 2y z= = BCM (1,2,2)n = (2, 1,1)CN = - 1 2 2 2 6cos , 99 6 n CNn CB n CN × - + < >= = = × CN BCM 6 9 1 1, ,AC AA AC AB AB AA A^ ^ Ç = 1 1AC ABB A^平面 AC 1 1ABB A (0,1,0)AC = BCM (1,2,2)n = 0 2 0 2cos , 3 3 n ACn AC n AC × + + < >= = = 高二数学参考答案第3页（共8页） 所以平面 与平面 所成角的余弦值为 . ……10 分 18．(本小题满分 9 分) 解：（Ⅰ） ， ． 所以椭圆 的长轴长 ，即 ． ……2 分 因为椭圆 的两个焦点分别为 和 ， 所以椭圆 的焦距 ，即 ． 所以 ． 所以椭圆 的方程为 ． ……4 分 （Ⅱ）设 ． 依题意，直线 的方程为 ， ……5 分 联立方程组 可得 ． ……7 分 所以 ． 所以 ． ……9 分 19．(本小题满分 9 分) 证明：（Ⅰ）因为 分别是 的中点，所以 , 因为 , , BCM 1 1ABB A 2 3 2 1| | (2 2) 1 3PF = + = 2| | 1 0 1PF = - = C 1 22 | | | | 4a PF PF= + = 2a = C 1( 2,0)F - 2 ( 2,0)F C 2 2 2c = 2c = 2 2 2b a c= - = C 2 2 1 4 2 x y + = 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y l ( 1)y x= - - 2 2 1 4 2 ( 1) x y y x ì + =ï í ï = - -î 23 4 2 0x x