专题1.1 相交线与平行线全章知识典例详解-2022-2023学年七年级数学下册必考点分类集训系列（人教版）

专题1.1 相交线与平行线全章知识典例详解 【人教版】 一、直线的相交 1．两条直线的位置关系 在同一平面内，两条直线要么相交，要么平行． 【注】两条直线：①有且只有一个公共点，两直线相交；②无公共点，则两直线平行；③两个或两个以上公共点，则两直线重合，视为一条直线． 【典例1】如下图，在一张白纸上画条直线，最多能把白纸分成部分（如图（1）），画条直线，最多能把白纸分成部分（如图（2）），画条直线，最多能把白纸分成部分（如图（3）），......，当在一张白纸上画条直线，最多能把白纸分成（ ） A．部分 B．部分 C．部分 D．部分 【分析】首先根据题意总结出画条直线，最多能把这张纸分成块，然后当时，代入即可. 【详解】画1条直线，最多能把这张纸分成1+1=2块； 画2条直线，最多能把这张纸分成1+1+2=4块； 画3条直线，最多能把这张纸分成1+1+2+3=7块； 画条直线，最多能把这张纸分成块； 则画条直线，最多能把白纸分成块； 故答案为D. 【典例2】已知条直线中的任意两条直线都相交，若交点数最多为个，最少为个，则______． 【分析】由题意可得6条直线相交于一点时交点最少，任意两直线相交都产生一个交点时交点最多，由此可得出M，m的值，从而得出答案． 【详解】解：根据题意可得：6条直线相交于一点时交点最少，此时交点为1个，即m=1； 任意两直线相交都产生一个交点时交点最多， ∵任意三条直线不过同一点，∴此时点为：6×（6-1）÷2=15，即M=15；∴M-m=14． 故答案为：14． 2．直线的相交——两线四角 （1）邻补角：两条直线相交所构成的四个角中，有一条公共边且另一边互为反向延长线的两个角，互为邻补角． 如图1，和，和，和，和互为邻补角． 图1 【注】互为邻补角的两个角一定互补，但两个角互补不一定互为邻补角． （2）对顶角：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，则这两个角互为对顶角． 如图1，和，和，互为对顶角． 【注】互为对顶角的两个角一定相等，但两个角相等不一定互为对顶角． 【典例3】与是对顶角，与是邻补角，则________度． 【分析】根据对顶角相等，邻补角互补即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，，，∴， 故答案为． 【典例4】如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE． (1)若∠AOC=76°，求∠BOF的度数； (2)若∠BOF=36°，求∠AOC的度数； 【分析】（1）先根据对顶角相等求出∠BOD=76°，再由角平分线定义得∠DOE=∠BOE=38°，由邻补角得∠COE=142°，再根据角平分线定义得∠EOF=71°，从而可得结论． （2）利用角平分的定义得出，进而表示出各角求出答案． 【详解】（1）∵∠AOC、∠BOD是对顶角，∴∠BOD=∠AOC=76°， ∵OE平分∠BOD，∴∠DOE=∠BOE=∠BOD=38°，∴∠COE=142°， ∵OF平分∠COE．∴∠EOF=∠COE=71°，又∠BOE+∠BOF=∠EOF， ∴∠BOF=∠EOF−∠BOE=71°−38°=33°， （2）∵OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∴， ∴设，则，故，， 则，解得， 故∠AOC=72°． 二、垂直 1．垂直：一条直线与另一条直线相交成，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． 如图2，，垂足为O，可记为“于点O”． 图2 2．性质： （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． 【注】直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． 【典例5】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是（　　） A．3 B．2.5 C．2.4 D．2 【分析】当PC⊥AB时，PC的值最小，利用面积法求解即可． 【详解】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5， ∵当PC⊥AB时，PC的值最小，此时：△ABC的面积＝•AB•PC＝•AC•BC， ∴5PC＝3×4，∴PC＝2.4， 故选：C． 【典例6】如图，在三角形中，． (1)过点画的垂线，交于点； (2)在（1）的条件下，点到直线的距离是线段______的长度； (3)在（1）的条件下，比较与的大小，并说明理由． 【分析】（1）根据垂线的做法，过C点往AB作垂线即可； （2）根据点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，可知点到直线的距离是线段AH的长度； （3）根据垂线段最短，进行判定即可． 【详解】（1）解：如图所示 （2）∵，∴点到直线的距离是线段AH的长度， 故答案为：AH； （3