第01课 空间向量概念与运算-2022-2023学年高二数学课后培优分级练（苏教版2019选择性必修第二册）

第01课 空间向量概念与运算 一、核心体系 二必备知识 知识点一：空间向量的有关概念 1、概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模；如空间中的位移速度、力等． 2、几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为 共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量  共面向量 平行于同一个平面的向量 知识点二：空间向量的有关定理 1、共线向量定理： 对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使． （1）共线向量定理推论：如果为经过点平行于已知非零向量的直线,那么对于空间任一点,点在直线上的充要条件是存在实数,使①，若在上取，则①可以化作： （2）拓展(高频考点）：对于直线外任意点，空间中三点共线的充要条件是，其中 2、共面向量定理 如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 （1）空间共面向量的表示 如图空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使． 或者等价于：对空间任意一点，空间一点位于平面内（四点共面）的充要条件是存在有序实数对，使，该式称为空间平面的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． （2）拓展 对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）． 3、空间向量基本定理 如果向量三个向量不共面，那么对空间任意向量存在有序实数组使得 知识点三：空间向量的数量积 1、空间两个向量的夹角 （1）定义：如图已知两个非零向量，在空间任取一点，作，，则么叫做向量的夹角，记.（特别注意向量找夹角口诀：共起点找夹角） （2）范围：． 特别地，（1）如果，那么向量互相垂直，记作． (2)由概念知两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为，故(或)(为非零向量)． (3)零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定与任何向量都是共线的，即．两非零向量的夹角是唯一确定的． （3）拓展（异面直线所成角与向量夹角联系与区别） 若两个向量所在直线为异面直线，两异面直线所成的角为， (1)向量夹角的范围是0<<><，异面直线的夹角的范围是0<<， (2)当两向量的夹角为锐角时，；当两向量的夹角为时，两异面直线垂直；当两向量的夹角为钝角时，. 2、空间向量的数量积 定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作；即．规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 3、向量的投影 3.1．如图(1)，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，向量称为向量在向量上的投影向量．类似地，可以将向量向直线投影(如图(2))． 3.2．如图(3)，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到，向量称为向量在平面上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角． 4、空间向量数量积的几何意义：向量，的数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积或等于的长度与在方向上的投影的乘积. 5、数量积的运算： （1），. （2）(交换律)． （3）(分配律). 三、高频考点+重点题型 考点一：空间向量的线性运算 例1-1．（2020·全国）如图，在长方体中，( ) A． B． C． D． 例1-2．（2022·天津市第二南开中学高二阶段练习）如图所示，在平行六面体中，为与的交点.若，，，则下列向量中与相等的向量是（    ）. A． B． C． D． 训练题组 1.（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在平行六面体中，、分别是、BC的中点．设，，． (1)已知是的中点，用、、表示、、； (2)已知P在线段上，且，用、、表示． 2．（2022·云南·昆明市官渡区艺卓中学高二阶段练习）如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E为A1C1的中点，若=++，则（    ）． A．x＝1，， B．x＝1，， C．，y＝1， D．，y＝1， 3．（2022·湖南·高二课时练习）如图，正方体中，点E，F分别是上底面和侧面的中心，分别求满足下列各式的x，y，z的值． (1)；(2)；(3)． 考点二 空间直角坐标系以及空间向量的坐标运算 例2-1．（2022·全国·高二专题练习）已知，则+3等于（    ） A． B． C． D． 例2-2．（2022·河南·宜阳县第一高级中学高二阶段练习）若空间向量不共线，且，则(    ) A．6 B．12 C．18 D．24 例2-3．（2022·河南省实验中学高二阶段练习）设向量不共面，则下