专题7.3 三角恒等变换-备战2023年高考数学真题+基础知识+题型方法+高考必刷（新高考专用）

专题07 三角函数 3.三角恒等变换 【高考真题】 1．（2022·全国II卷）若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解. 【详解】[方法一]：直接法 由已知得：, 即：， 即： 所以 故选：C [方法二]：特殊值排除法 解法一:设β=0则sinα +cosα =0，取，排除A, B； 再取α=0则sinβ +cosβ= 2sinβ，取β，排除D；选C. [方法三]：三角恒等变换 所以 即 故选：C. 2．（2021·全国I卷）若，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母()，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果． 【详解】将式子进行齐次化处理得： ． 故选：C． 【点睛】易错点睛：本题如果利用，求出的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论． 3．（2020·全国I卷理数）已知，且，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，得， 即，解得或（舍去）， 又. 故选：A. 4．（2020·全国III卷文数）已知，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得：， 则：，， 从而有：， 即. 故选：B. 5．（2020·全国III卷理数）已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ=（       ） A．–2 B．–1 C．1 D．2 【答案】D 【详解】，， 令，则，整理得，解得，即. 故选：D. 6．（2019·全国I卷文数）tan255°=（       ） A．－2－ B．－2+ C．2－ D．2+ 【答案】D 【详解】= 7．（2018·全国II卷文数）若在是减函数，则的最大值是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以由得 因此，从而的最大值为，故选：A. 8．（2019·全国II卷文数）若x1=，x2=是函数f(x)=(>0)两个相邻的极值点，则=（       ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【详解】由题意知，的周期，得．故选A． 9．（2019·全国II卷理数）已知 ∈（0，），2sin2α=cos2α+1，则sinα=（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，． ，又，，又，，故选B． 10．（2018·全国I卷文数）已知函数，则（       ） A．的最小正周期为，最大值为 B．的最小正周期为，最大值为 C．的最小正周期为，最大值为 D．的最小正周期为，最大值为 【答案】B 【详解】根据题意有， 所以函数的最小正周期为， 且最大值为，故选B. 11．（2018·全国III卷文数）若，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，故选B. 12．（2018·全国III卷文数）函数的最小正周期为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知得， 的最小正周期，故选C. 13．（2020·全国II卷文数）若，则__________． 【答案】 【详解】. 故答案为：. 14．（2019·全国I卷文数）函数的最小值为___________． 【答案】. 【详解】， ，当时，，故函数的最小值为． 15．（2018·全国II卷文数）已知，则__________． 【答案】. 【详解】，解方程得. 16．（2018·全国II卷理数）已知，，则__________． 【答案】 【详解】因为，所以，① 因为，所以，② ①②得， 即，解得， 故本题正确答案为 【基础知识】 1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式 (1) sin(αβ)＝sin αcos βcos αsin β； (2) cos(αβ)＝cos αcos βsin αsin β； (3) tan(αβ)＝． 2．二倍角公式 (1)基本公式： ①sin 2α＝2sin αcos α； ②cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； ③tan 2α＝. (2)公式变形： 由cos 2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α可得 降幂公式：cos2α＝；sin2α＝； 升幂公式：cos 2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. 3．辅助角公式 asin x＋bcos x＝sin(x＋θ). （其中） ＝cos(x—φ). （其中） 【题型方法】 一、两角和（差