专题04 盘点直线与圆中的最值问题-备战2023年高考数学二轮复习最值题型讲解专训（新高考专用）

2023高考二轮复习讲与练 专题04 盘点直线与圆中的最值问题 直线与圆中的距离最值问题 直线与圆中的最值问题 直线与圆中的切线最值问题 直线与圆中的弦长最值问题 直线、圆与平面向量交汇的最值问题 直线与圆中参数最值问题 直线与圆中的面积最值问题 典例讲解 类型一、直线与圆中距离最值问题 1．（2021·全国高考真题）（多选题）已知点在圆上，点、，则（ ） A．点到直线的距离小于 B．点到直线的距离大于 C．当最小时， D．当最大时， 【答案】ACD 【分析】计算出圆心到直线的距离，可得出点到直线的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，当最大或最小时，与圆相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误. 【详解】圆的圆心为，半径为，直线的方程为，即，圆心到直线的距离为，所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误；如下图所示： 当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知， ，，由勾股定理可得，CD选项正确. 【点睛】若直线与半径为的圆相离，圆心到直线的距离为，则圆上一点到直线的距离的取值范围是. 2．若圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差为，则实数的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将圆的方程化为标准方程，设圆心到直线的距离，则圆上的点到直线的最大距离为，最小距离为（为圆的半径），根据已知条件求出半径，从而可求得的值. 【详解】圆的方程化为标准方程得，则，圆的半径为，设圆心到直线的距离为，，当时，圆上的点到直线的最大距离为，最小距离为，由已知条件得，即，解得.此时，，直线与圆相离，合乎题意.当时，圆上的点到直线的最大距离为，最小距离为，由已知条件得，舍去，综上，，故选：D. 3.在平面直角坐标系中，直线与轴和轴分别交于，两点，，若，则当，变化时，点到点的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 答案：B 【分析】先求得，两点坐标，根据得到，再结合可得到轨迹为动圆，求得该动圆圆心的方程，即可求得答案. 【详解】由得，故由得， 即，由得，设，则， 即，所以，即点轨迹为一动圆，设该动圆圆心为，则，整理得，代入到中，得：，即轨迹的圆心在圆上，故点与该圆上的点的连线的距离加上圆的半径即为点到点的距离的最大值，最大值为，故选：B. 4．过直线上任一点向圆作两条切线切点分别为线段的中点为，则点到直线的距离的最小值为____________. 【答案】 【分析】设点，则直线的方程为，易得直线恒过，，可得点的轨迹是以为直径的圆（除去原点），其中该圆的圆心坐标是，将原问题转化为圆心到直线的距离加减半径即可. 【详解】设点，则直线的方程为（注：由圆外一点 向该圆引两条切线，切点分别为，则直线的方程是），注意到直线，即,直线与的交点为.又，因此点的轨迹是以为直径的圆（除去原点），其中该圆的圆心坐标是，半径是.又线段的中点到直线的距离等于，因此点到直线的距离的最小值为. 类型二、直线与圆中切线最值问题 1．已知点P是直线上的动点，过点P引圆的两条切线PM，PN，M，N为切点，当PM的最小值为时，则r的值为（ ） A．2 B． C． D．1 【答案】D 【解析】 如图，由题得，当时，最小时，最小.由题得，所以. 2．已知为坐标原点，点在单位圆上，过点作圆：的切线，切点为，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，圆，其圆心，半径，过点作圆的切线，切点为，则，当最小时，最小，又由点在单位圆上，则的最小值为，则的最小值为。 3．已知圆关于直线对称，则由点向圆所作的切线中，切线长的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为即，所以圆心为，半径为;因为圆关于直线对称，所以，所以点在直线上，所以的最小值为，切线长的最小值为。 类型三、直线与圆中面积最值问题 1．若，分别是直线与轴，轴的交点，圆：上有任意一点，则的面积的最大值是（ ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，再求出到直线的最大距离为点到直线加上半径，进而可得面积最大值. 【详解】由已知，，则，又点到直线的最大距离为，所以最大面积为.故选：C. 2．圆心在曲线上，与直线x+y+1=0相切，且面积最小的圆的方程为（　　） A．x2+（y-1）2=2 B．x2+（y+1）2=2 C．（x-1）2+y2=2 D．（x+1）2+y2=2 【答案】A 【分析】设与直线x+y+1＝0平行与曲线相切的直线方程为x+y+m＝0，切点为P（x0，y0），x0＞﹣1，解得x0,可得切点P即圆心，利用点到直线的距离公式可得半径r,求解即可． 【详解】设与