专题03 盘点三角函数与解三角形中的最值问题-备战2023年高考数学二轮复习最值题型讲解专训（新高考专用）

2023高考二轮复习讲与练 专题03 盘点三角函数、解三角形中的最值问题 解三角形中面积最值问题 三角函数、解三角形中的最值问题 解三角形中周长最值问题 解三角形中多元最值问题 三角函数的最值问题 三角函数与解三角形交汇的最值问题 有关三角形边、角的最值问题 解三角形中参数最值问题 典例讲解 类型一、解三角形中面积最值问题 1.在中,角所对边分别为,则 ,的面积的最大值为 . 答案：， 解析：,则,由正弦定理得 ,,即,由余弦定理得,所以, 所以. 当即时,取得最大值. 2. 在.中，角，，的对边分别为，，，已知，. （1）求角； （2）若点在边上，且，求面积的最大值. 【分析】 （1）利用正弦定理将，化为，由此即可求出结果； （2）由题意可知，进而可得，再根据余弦定理和基本不等式可得的最大值，进而求出结果. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 因为，所以，因为，所以. （2）因为，所以；所以， 因为，所以，当且仅当时，等号成立， 所以，所以面积的最大值为. 3.在中，内角，，所对的边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若的周长为，求面积的最大值． 【分析】 （1）在中，利用余弦定理化角为边，可得，再结合，即得解； （2）由余弦定理以及可得，再利用面积公式即得解 【详解】（1）由余弦定理，得，即， 则，所以又，所以． （2）由题意，，根据余弦定理，得， 则， 所以，当且仅当时取“”．所以， 面积，故面积的最大值为． 4、在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，请在①a2＋c2－b2＝S△ABC； ②a＋acos B＝bsin A；③cos B＝bcos A这三个条件中任意选择一个，完成下列问题： (1)求∠B的大小； (2)若b＝2，求△ABC面积的取值范围． 解：(1)若选①，a2＋c2－b2＝S△ABC，则2accos B＝×acsin B， ∴tan B＝，又B∈，则∠B＝. 若选②，由正弦定理得sin A＋sin Acos B＝sin Bsin A，又sin A≠0， ∴sin B－cos B＝2＝1，∴sin＝， 又B∈，∴B－＝，则∠B＝. 若选③，由正弦定理得(2sin C－sin A)cos B＝sin Bcos A， ∴整理得2sin Ccos B＝sin Acos B＋sin Bcos A＝sin(A＋B)＝sin C，又sin C≠0， ∴cos B＝，又B∈(0，π)，则∠B＝. (2)由题设知：a2＋c2－2accos B＝b2＝4，又∠B＝，∴a2＋c2－ac＝4，又a2＋c2≥2ac，∴ac≤4， 由S＝acsin B＝acsin＝ac≤，当且仅当a＝c＝2时取等号． ∴△ABC面积的取值范围为(0，]． 类型二、解三角形中周长最值问题 1、在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若sin＝，且a＋c＝2，则△ABC周长的最小值为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】因为sin＝，且角B为三角形的内角，所以B＝，所以B＝。又b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－3ac＝4－3ac≥4－32＝1，当且仅当a＝c＝1时，取等号，所以b≥1，所以a＋c＋b≥3；又a＋c＝2>b，所以a＋c＋b<4，所以△ABC周长的最小值为5。 2、设的内角的对边分别为 ，若，且的面积为25，则周长的最小值为__________． 【答案】 【解析】在中，由余弦定理可得：， 即，即，即，所以三角形的面积为，则的周长为，当时取得等号，所以的周长最小值为. 3．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC． (1)求A；(2)若BC=3，求周长的最大值． 【答案】（1）；（2）． 解析：（1）由正弦定理可得：，， ， （2）由余弦定理得：， 即．（当且仅当时取等号）， ， 解得：（当且仅当时取等号）， 周长，周长的最大值为． 4、在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若A≠，且 3acos B＋3bcos A＝ac． (1)求a的值； (2)若A＝，求△ABC周长的最大值． 【解析】(1)则由正弦定理得：3sin Acos B＋3sin Bcos A＝asin C⇒3sin(A＋B)＝asin C⇒3sin C＝asin C， 因为C∈(0，π)，所以sin C≠0，因此a＝3. （2）若A＝，则由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc·cos A⇒9＝b2＋c2＋bc⇒b2＋c2－9＝－bc ⇒(b＋c)2－9＝bc，又bc≤2，故(b＋c)2－9≤，即b＋c≤2， 当且仅当b＝c＝时取等号， 所以a＋b＋c的最大值为3＋2