专题02 盘点平面向量中的最值问题-备战2023年高考数学二轮复习最值题型讲解专训（新高考专用）

2023高考二轮复习讲与练 专题02 盘点平面向量中的最值问题 数量积的最值问题 平面向量中的最值问题 向量模的最值问题 向量夹角的最值问题 向量与均值不等式交汇的最值问题 以向量为情境的多元最值问题 典例讲解 类型一、向量数量积的最值问题 1、(2021·天津高考)在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，DE⊥AB且交AB于点E. DF∥AB且交AC于点F，则|2＋|的值为________；(＋)·的最小值为________． 【答案】 【解析】设BE＝x，x∈，∵△ABC为边长为1的等边三角形，DE⊥AB，∴∠BDE＝30°，BD＝2x，DE＝x，DC＝1－2x，∵DF∥AB，∴△DFC为边长为1－2x的等边三角形， DE⊥DF，∴(2＋)2＝42＋4·＋2＝4x2＋4x(1－2x)×cos 0°＋ (1－2x)2＝1，∴|2＋|＝1.∵(＋)·＝(＋)·(＋) ＝2＋·＝(x)2＋(1－2x)×(1－x)＝5x2－3x＋1＝52＋， 所以当x＝时，(＋)·的最小值为. 2.(2020·天津高考·T15)如图,在四边形ABCD中,∠B=60°,AB=3,BC=6,且=λ,·=-,则实数λ的值为　　　　,若M,N是线段BC上的动点,且||=1,则·的最小值为　　　　.  【分析】由题可得∠BAD=120°,利用平面向量数量积的定义求得λ的值,然后以点B为坐标原点,BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系,设点M(x,0),则点N(x+1,0)(其中0≤x≤5),得出·关于x的函数表达式,利用二次函数的性质求得·的最小值. 【解析】因为=λ,所以AD∥BC,所以∠BAD=180°-∠ABC=120°,·=λ· =λ·cos 120°=λ×6×3×=-9λ=-,解得λ=.以点B为坐标原点,BC所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系, 因为BC=6,所以C(6,0),因为AB=3,∠ABC=60°,所以A的坐标为,又因为=,则D, 设M,则N(其中0≤x≤5),=,=, ·=+=x2-4x+=+,所以当x=2时,·取得最小值. 3、(2018·天津高考理科·T8)如图,在平面四边形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120°,AB=AD=1.若点E 为边CD上的动点,则·的最小值为(　　) A. B. C. D.3 【解析】选A.由已知DB=且△BCD为等边三角形,因为=++, 所以·=(++)·=,设=λ(0≤λ≤1), 则·=·(-)=(-)·(--)=(-)2-(-)·= 3λ2-λ+.所以,当λ=时,·有最小值. 4．【2017浙江，15】已知向量a，b满足则的最小值是__，最大值是____． 【答案】4， 【解析】 5.已知正方形，，，，，点关于直线对称的点为，则的最小值为 . 答案： 【分析】利用点关于直线对称求出点坐标，结合对勾函数求出横坐标的取值范围，结合的轨迹，利用极化恒等式进行求解. 【详解】由题意得：，，，，则直线：，设，则，解得：，所以，其中，由对勾函数可知在上单调递减，在上单调递增，其中，，从而，且当时，，又点的轨迹为以为圆心，为半径的圆弧，如图所示，取的中点，连接，因为①，②，两式平方后相减得：，要想的值最小，则需要最小，连接MH，与圆弧交点N即为最小的，此时由勾股定理得：，此时，过点作轴于点，则，所以，，故，符合要求，故. 基本方法： 1、计算平面向量数量积的主要方法 (1)利用定义a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．若两向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，则需要通过平移使它们的起点重合，再计算 (2)利用坐标运算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2. 若图形适合建立平面直角坐标系，可建立坐标系，求出a，b的坐标，通过坐标运算求解 (3)几何法：根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出向量a、b，然后根据平面向量的数量积的定义进行计算求解 2、解决涉及几何图形的向量的数量积运算问题时，可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简后再运算．但一定要注意向量的夹角与已知平面几何图形中的角的关系是相等还是互补． 类型二、向量模的最值问题 1.已知为单位向量，向量满足：，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 答案：C 【分析】可设，，根据，可得的关系式，并得出的范围，，将用表示，再根据函数的最值即可得解. 【详解】可设，，则， 即，则，，，当时，取得最大值为，即的最大值为.故选：C. 2. 已知向量满足,与的夹角为,则当实数变化时,的最小值为（ ） A. B. C. D. 2 答案：